考研数学基础讲义之一

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1、•.理解函数的概念,掌握函数的表示方法，会进行函数记号的运算.1.函数的定义：设兀和y是两个变量,D是一个给定的数集.如杲对于每个数xwD,变量y按照一定法则，总有唯一确定的数值y和它对应，则称y是兀的函数，记为y=f（x）.注：1）定义域D是给定的，对任一个xeD值，给定一个兀值，只有惟一的y的值与之对应；2）函数的两个要素：定义域和対应关系（预先给定的）3）函数的表示方法（解析法）：显函数；隐函数；反函数；参数方程确定的函数；由变限积分确定的函数.4）分段函数：在定义域内不能用同一个式子表示的函数.2.函数的儿种特性：（1）有界性：设函数丿=/（兀）在数集X上有定

2、义，若存在正数M,使得对于每一个xgX,都有f（x）0，总存在观GX,使

3、/（x0）

4、>M•（2）单调性:设函数y=f（x）在区间/上有定义,若对于Z上任意两点州与兀2,且州v兀2时，均有于（和o,若对于任一花（一。卫）都有/（-x）=/U）,称/（兀）为偶函

5、数（其图像关于y轴对称）；若对于任一兀w（—d,d）都有/（-x）=-/（x）,称/（兀）为奇函数（其图像关于坐标原点对称）.（4）周期性：对函数y=若存在常数T>0,有f（x+T）=/（x）,称函数y=/（x）为周期函数，T称为于（兀）的周期.3.复合函数：4.反函数：设函数y=fM的值域为。.，如果对于2冲任意一y值，从关系式）=/（%）中可确定唯一的兀值，则此时按照函数的定义，也确定了兀是y的函数，称此函数为），=/（兀）的反函数，记为x=fy）o习惯上也称y=f~x）是y=）的反函数.二.掌握基木初等函数的性质及其图形；了解初等函数的概念.1•基本初等函数

6、/（兀）,ax,logax,sinx,cosx,tanx,cotx,secx,escx.arcsine,arccosx,arctanx,arccotx.2.初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合，并JI在定义域内具有统一的解析表达式的函数称为初等函数.例1•设/(%)=r2()

7、r"I1例2.设g(x)=2-x,x<0x+2,x>0[2-/(x),

8、/(x)<0l/(x)+2,/(x)>0f/(兀)=x2,x-x,%>02—(—x),xn02+x2,x<0例3.设函数f(x)在(-oo,+oo)上有定义,在区间［0,2］上/(x)=x(x2-4),若对任意的x都满足/(%)=2/(x4-2),求/(%)在［-2,0)上的表达式.解：当一2

9、系；1.函数极限的定义：定义1：设函数y=f(x)在x()的某个去心邻域内有定义，若对>0,38>0当Ovx-x()

10、<3时,恒有

11、/(x)-a<£f则称y=/(兀)在兀T心的极限为a,记为limf(x)=a・XT%(直观地说hmf(x)=a：当兀无限趋近X。时,函数f(x)无限趋近常数a.)定义2：设函数y=f(x)在卜

12、>E>0内有定义，若对V£>0,3M>0,使得当x>M吋，恒有f(x)-a<£,则称y二几工)在xt8的极限为a,记为lim/(x)=a.・Y—»8(直观地说lim/(x)=a：当兀无限增大时，函数/(%)无限趋近常数a.)XT82.左、右极

13、限的定义：右极限/(勺+0)=limf(x)=ao/£>0,日5>0,当0v尤一兀。v5时•，恒冇f(x)-a<£.XT"左极限/(xo-O)=lim/(x)=tz«V£>0,33>0,当一SO,3M>0,当x>M时，恒有0,3M>0,当x<-M时，恒有f(x)-alim/(x)=lim/(x)-aA—>XpXTX6lim/(x)=aolimf(x)=limfx)=a.XT8兀T