考研基础数学讲义导数与微分

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1、1一、导数和微分的概念及应用二、导数和微分的求法导数与微分2一、导数和微分的概念及应用★导数：★微分:★可导与可微的概念：可导存在.可微其中A是与无关的常数.特点是：“分子一定一动，分母有左有右”分子是函数值之差，分母是相应的自变量之差，分母趋于零的极限.能3★导数与微分的区别与联系联系:区别：可从定义式子；实质；几何意义三方面考察.是函数相对于自变量的变化率.(dy是△y线性主部).4★可导与可微的区别与联系:区别：可从定义式子；几何意义两方面考察.可导存在.可导一定有切线且切线不垂直于x轴.以直代曲当很小时，在点M的附近，可用切线段近似地

2、代替曲线段.可微联系：可微必可导，可导必可微.可微其中A是与无关的常数.能5★几个定理定理1.定理2.定理3.在处可导在处连续在处的极限一定存在，即存在.在可微可微可导连续有极限有定义在点可微在点处可导6思考：7(1)利用导数定义解决的问题(2)用导数可求切线与法线的方程4）用导数定义求极限；2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题；1)利用导数的定义求函数在某点处的导数；用导数可求变速直线运动的速度与加速度5）判断函数在某一点的可导性.★应用:81)几何应用：★几何意义：是y=f(x)在点★切线

3、、法线的方程：切线的方程：法线的方程：2)物理应用：瞬时速度：瞬时加速度：处切线的斜率.9解:原式=题型1：已知导数求极限例1.1011例2.设,讨论在处的可导性,并求解:不存在不连续，从而不可导.但是12解:原式=且联想到凑导数的定义式例3.13例4.解:题型2：已知极限求导数14处可导的一个充分条件是（）练习:15题型3：利用导数的定义求函数在某点的导数提示：以下情况必须用导数的定义求导数1)求分段函数在分界点处的导数时；2)不符合求导法则的条件时；3)表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的用求导法则.例5.解:注意：可导可导=可导；可

4、导不可导就不一定可导.注意：可导可导=可导；可导不可导就一定不可导.16例6.解:分析:不能用公式求导.求左右极限17可导例7.解:注意：求导法则的成立是有条件的.18设解:因为又例8.注：判断可导性的方法不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.19例9.分析:又20解:方法1利用导数定义.方法2利用求导公式.例10.21例11证明：证明：定义法公式法题型4：利用导数的定义证明导函数的性质22思考：[05数一、二，4分]设F(x)的导数是f(x)，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(

5、A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.f(x)是周期函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是单调函数.(D)F(x)是单调函数(A)23二、导数和微分的求法(微分法)1.正确使用导数及微分公式(16个)和法则(四则法则；锁链法则；反函数求导法则).2.熟练掌握求导方法和技巧:(1)求分段函数的导数;注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等.(2)隐函数求导法(直接法、微分法);(3)参数方程求导法(复合函数法、微商法);(5)复合函数求导法(可利用微分形式不变性);(6)高阶导数的求法(逐次求导归纳;间接求导法).(4)对数函数求导法(对多个因式的

6、积商、乘方开方及幂指函数有用);243.常数和基本初等函数的导数及法则:★求导公式(16个):25★有限次四则运算的求导法则(有条件的):(C为常数)★反函数的求导法则：★复合函数求导法则(有条件的):★初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数.26(2)求法:直接法——逐阶求导法归纳法间接法——利用已知的高阶导数公式和法则.4.高阶导数的概念及求法公式：法则：(C为常数)记作：27说明：1.有以上公式与法则,我们就可以对任意初等函数求各阶2.求导时,应认清结构,是和差还是乘积,复合;是分段函数还是抽象函数,幂指函数,是隐函数还是参数方程等.

7、3.求导时应认清谁是自变量,谁是函数.对哪一个变量求导.导数.初等函数的各阶导数(若存在)仍为初等函数.4.应正确使用各种导数的符号.如281)基本初等函数的微分公式5.微分运算公式与法则291)微分的四则法则：设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)2)微分法则2)复合函数的微分法则：结论：无论u是自变量还是中间变量，形式总是这种特性称为一阶微分形式的不变性301)表示导数时能显示谁是函数谁是自变量,2)表示微分时有商的含义，故3)隐含着一阶微分形式的不变性.31解:关键:搞清函数的运算结构,对复合函数应由外向内逐层求导.求导次序：先加减后乘

8、除，再用锁链法则.题型5：求各类函数的导数及微分例12求下列函数的导数解:32解：幂指函数的求导方法有两种：方法1：对数求导法然后用隐函