考研教案3(导数与微分)

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1、Ch2导数与微分题型1.与导数、微分有关的定义和概念例1.与相等吗？解：而表示在处的右极限，如：不存在，但又：当时，但是但在一定条件下，有，内可导，且则有：证：例2.设在处连续，且，求解：由定义，而在处连续，9，所以，Ex1.设处处可导，则（）（A）当必有（B）当，必有；（C）当，必有；（D）当，必有解：，A错误，B错误，C错误D正确，证：*Lagrange中值定理Ex2.设在内有定义，，恒有，当时，，判断x=0处，是存在。*某点连续，可导，表达式解：1.、2、，则有所以，9所以，Ex3,设在的某领域内有定义，则在处可导的充分条件是：（）（A）（B）（C）（D）答案：（D）Ex4.函数不可导点

2、的个数是（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0，所以有：2个，同理题型2.求各类一元函数的导数1、复合函数的求导；2参数方程的求导；3、隐函数求导；4幂函数求导；5分段函数求导.例1.设，求，.解：令则9Ex1.设，其中三阶导数存在，且，求.解:例4.设，求，并讨论连续性与可导性.解：1.连续性……（1）2.可导定义所以，a=2Ex2***.设由确定，则=.解：所以，9例2.，求.解：Ex1.试从导出：解：（*注：）题型3.求一元函数的高阶导数直接法：直接求出1-3阶，分析归纳得出n阶；间接法：已有公式，四则运算，代换，taylor公式求n阶.,,,例1.设求9解：由Taylor公式：，E

3、x1.求解：……例3.设任意阶可导，且，求.解：……所以，Ex1.设求.*化多项式+真分式用公式9解：Ex3.，求*三角函数用公式解：Ex4.设，求*多项式求n阶导数用Laibniz公式解：问题解答：设连续，且，则存在，使得（）（A）在内单调增加；（B）在内单调减少；（C）对，有；(D)对，有。9解：(A)的反例，答案：（C）作业1、.曲线在点（0,1）处得切线方程为:两边求导：所以，答案：作业2、.由确定，则解：x=0;y=e;两端求导，得x=0;y=e;代入得：作业3.设由方程确定，求.解：取对数求导，9所以，作业4.设,其中为有界函数，则在x=0处（）（A）极限不存在（B）极限存在但不连

4、续（C）连续但不可导（D）可导解：所以（A）、（B）都错误；故（C）错，而（D）正确.答案：（D）作业5.设，讨论连续性.解：所以，在x=0处为第二类间断点.9