第二章推理与证明复习指导

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1、第二章推理与证明复习指导山东王振宝史纪卿对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重耍的“逻辑思维”能力形式.通过木章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力.一.推理部分1.知识结构：2.和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理.①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括岀一般结论的推理，称为归纳推理.②类比推理：由两类对彖具有某些类似特征和其中一类对彖的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.③定义特点；归纳推理是

2、由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理：都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论.但是结论的可靠性有待证明.类比推理的另一特点是两类対象貝有某些类似特征，这是类比、猜想的前捉.例如：已知f(n)=-n2+5n-3f可以/(1)=1>0,/(2)=3>(),/(3)=3>0,/(4)=1>0,于是推出:对入任何neN都有/(h)>0；而这个结论是错谋的，显然有当h=5时，/(5)=-3<0.因此，归纳法得到的结论冇待证明.例如：“在平面内为同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条百线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错课

3、的”.类比线与而得到：在空间与同一个平血•垂肓的两个平面平行；显然此结论是错误的.④推理过程：从具体问题出女—观察、分析、比较、联想一归纳、类比一猜想.⑤类比推理是本章的重点和难点例1类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.解：猜想如下：分类类比对象猜想结果图形平面三和形空间四面体P即、fE元索两条直角边a,b,斜边c三个直角三角形面积S]$2,S3*斜三角形而积$元索关系c2=a2^b22222S+耳+*请问如果猜想出53=酹+雷+冨，这个类比是否正确？答；这个类比猜想是不匸确的.由表可见，应该是两类对象某些特征的类比.解题剖析：我们知道类比

4、的结果不一定正确.因此在解答此类题时,—•般是关心类比的结果的正确性.但是，有时类比就发生错误，因此我们要抓住类比的实质，不要被一些表面现象所迷惑.例如：同一•数轴上两点之间的距离公式d=丨兀2-州丨=J（x2-X,）2:类比得到同一坐标平面两点距离公式为d=7^1-^2）2+（>?1->2）2；再类比得到在空间坐标系•!'两点距离公式为，d=J（X

5、—兀2）2+（）[—丿2）2+（Z]—-由此对见；在类比时分清要类比的元素是很重要的.1.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）.①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理

6、；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：i人前提：已知的一般原理（M是P）；ii小前提：所研究的特殊情况①是旳）；iii结论：由一般原理对特殊情况作出判断（5是戶）；以集合简述：i大前提：xeMRx具有性质P；ii小前提：yeSFl.5cM；iii结论：y也具有性质P；例题1・若定义在区间D上的函数/（兀）对于D上的〃个值西*2，…捡，总满足丄［/（£）+/（兀2）+…+/（£）］＜/（西+心+小+心），称函数/（X）为Dnn上的凸函数；现己知/（x）=sinx在（0,兀）上是凸函数，则ABC中，sinA+sin3+sinC的最大值是

7、.解答：由丄［/（和+/（兀2）+…+/（©）］+•••+£）（大前提）nn因为/（x）=sinx在（0,兀）上是凸函数（小前提）（结论）得/(A)+/(B)+/(C)<3/(A+f+C)即心+sinB+si心3sin鈔竽因此，sinA+sinB+sinC的最大值是班2注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型.1.和情推理与演绎推理的关系：①和悄推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理;②它们乂是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性;X—XX—X例2.设f(X)=a,gM=a~'1(具中d〉0且dHl)（1）5=2+3请你推测g（5）能否用

8、于⑵丿⑶,g⑵,g（3）来表示;（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由/⑶g⑵+g（3）/（2）ci3+a222—25-5cT+a~a-a_22-乂g(5)=因此，g（5）=/（3）g⑵+g⑶/⑵⑵由g(5)=.f(3)g⑵+g⑶于(2)即g(2+3)=f⑶g(2)+g(3”(2)于是推测g(兀+y)=/O)g(y)+gMf(y)X.-xX_-x证明：因为：/(x)=2，曲)=；(大前提)严一严所以gO+刃=，ny_〃_yny+“_〉g(y)=―，/(刃=，(小前提及结论)22所以/(Qg(y)+g(Q/(y)22ay