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1、第二章推理与证明复习小结推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明数学归纳法间接证明比较法类比推理归纳推理分析法综合法反证法知识结构证为数为数证一.综合法证为数为数证证证明:要证只需证只需证只需证只需证因为成立.所以成立.二.分析法三:反证法问题一:求证:两条相交直线有且只有一个交点.注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.问题二:求证一元二次方程至多------有两个不相等的实根.注:所谓至多有两个,就是不可能有三个
2、,要证“至多有两个不相等的实根”只要证明它的反面“有三个不相等的实根”不成立即可.问题:如图;已知L1、L2是异面直线且A、B∈L1,C、D∈L2,,求证;AC,SD也是异面直线.aCDABL1L2五.归纳、类比、猜想、证明例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立.(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足题设
3、的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个交点也两两不相同.从而平面内交点的个数是k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2=(k+1)[(k+1)-1]/2.
4、这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为:f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成立.说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,---则:f(n)=n2.(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线------的条数
5、f(n+1)=f(n)+_________.n-1练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+__________个区域.2k１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.作业：
