第二章推理与证明小结与复习

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1、第二章推理和证明小结与复习教学目标重点：了解合情推理、演绎推理的含义，能利用归纳和类比、“三段论”进行简单的推理;了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想，用“三段论”进行简单的推理；根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.能力点：利用推理方法与证明方法解决具体数学问题.教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构.自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.易错点：在利用分析法证明时的证题格式与步骤.学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：多媒体课件.一、【知识结构】—归纳推理—合情推理

2、一推理和证明推理_—类比推理一演绎推理证明—间接证明反证法综合法——直接证明分析法——数学归纳法二、【知识梳理】1.合情推理:包括归纳推理与类比推理两种•归纳推理是由特殊到一般、部分到整体的推理，合情推理是特殊到特殊的推理.2.演绎推理:它是由一般到特殊的推理，一般模式是”三段论：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的诃靠性.3.直接证明:综合法和分析法是直接证明的两种基本方法.综合法：一般的，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的这种证明方法。分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使

3、它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（己知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。4.间接证明:反证法是间接证明的一种基本方法.反证法：一般的，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后推出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。5.数学归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（递推奠基）：7?取笫一个值斤0（例如7?0=1）时命题成立;（2）（递推归纳）：假设当斤二£（kM且£»禺）结

4、论正确；（归纳假设）利用它证明当n=k+l时结论也正确.（归纳证明）由（1）,（2）可知，命题对于从开始的所有正整数n都正确.三、【范例导航】题型一：归纳推理和类比推理例1观察下列各式：1=1I3=11+2=313+23=914-2+3=613+23+33=361+2+3+4=10卩+23+33+43=1001+2+3+4+5=1513+23+33+43+53=225可以推测：1'+2'+3“+•••+/=（neN：用含〃的代数式表示）【解析】本题可先通过观察两列等式的到对应等式的左边、右边的关系，再由此归纳岀一般结论。第二列等式右边分别是1x1,3x3,6x6

5、,10x10,15x15,与第一列等式右边比较即可得，13+23+33+--+^=（1+2+3+--+A?）2=*“+1）2【点评】解决此类问题，关键是明确等是两边对应项的各自特点及各行、各列相邻项之间的关系。Ftl归纳推理所得的有限项所表示的规律不一定适合于一般项，若要验证其正确性，需进行具体计算或严格证明。变式练习1（2015.陕西.文）观察下列等式：1-1U12t11111[卜=—+—2343411111111I———————zz—————23456456据此规律，第〃个等式可为O答案：］_丄+丄一丄+...+丄一丄=丄+丄+...+丄+丄2342/z-l2

6、n”+1n+22n-In【设计意图】通过观察所列出式子的特点，由归纳推理岀第“个式子的特点，需要注意的是所得规律不一定使用于一般项，若要验证其正确性，需进行具体计算或严格证明。通过练习让学生深刻理解归纳推理的特点及技巧，为下一步学习数学归纳法做铺垫。例2•请用类比推理完成下表：平面空间•三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个而的而积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底而上的髙的乘积的三分Z—三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半【解析】本题由已知的前两组类比可得到如下信

7、息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边反与三棱锥各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三•角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象.由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略.【点评】类比推理的关键是找到合适的类比对象•平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间

8、中的一些元