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1、第十五章振动学基础§15-1简谐振动一、简谐振动的动力学描述1、谐振动的受力特征谐振动的动力学定义：振动系统在与位移人小成正比，而方向相反的冋复力作川下的运动称为简谐振f=-kx,k为比例系数。2、简谐振动的微分方程3、简谐振动的判据判据一f=-kx动力学判据判据二。=一-0’尢运动学判据判据三兀=4cos（曲+0）运动方程4、简谐振动实例单摆小角度摆动、复摆、扭摆二、简谐振动的运动学描述1、谐振动的数学表达式一一运动方程谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐振动。X=ACOS伽+0）v=-Acosm(a)t+0)a=-co~cos伽+
2、0)2、简谐振动的三个特征量角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定。角频率:CD=周期：T=—CO频率:振幅A——表示振动物体离开平衡位賈的最大距离。振幅A和初相（p山初始条件决定:三、简谐振动的旋转矢量表示令矢量的模为振幅A,当t二0时，它与X轴的夹角为0,此矢杲角速度3逆时针旋转，如图9.1所示。则任一时刻/：（1）矢量月与x轴的夹和表示振子位相（3t+d》:（2）矢量刁在x轴上的投影表示振子的位移兀；（3）矢端的速度在x轴上的投影表示振子的速度“（4）矢端的加速度在x轴上的投影表示振子的加速度°o图9.1四、简谐振动的能量1、谐振动的动能：Ek=
3、—mv2=—cd2A2sin2（^+^）k222、谐振动的势能：En=-kx2=-M2cos2（^r+^）卩223、谐振动的机械能：E=Ek^E=丄九护/k卩22弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平力随时I'可作周期性变化，其周期为谐振周期的半；当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。r典翹例题1【例15-1】半径为R的木球静止浮于水血上时，其体积的一半浸于水中，求:（1）木球振动的微分方程;（2）木球在什么条件下作简谐振动，振动周期为多少？【解】以平衡位置为处标原点，当木球从平衡下移位移时，浸入水中的体积增加：2V'=（龙（
4、/?2—兀2）厶二冰2兀（］一詁）木球所受的合力:例9-1图山牛顿第二定律:f=-pgV'=-^R2x(-2—>)pg5K-冰2迩-右pg二m3id2x~dt^平衡位置吋：故23=0d2x~dt^此即木球的运动微分方程。x2当x«R时，一^tO3R2木球作简谐振动®=』3g/2R,T例9-2图解【例15-2］弹簧下挂m0=100^的法码时，弹簧伸b<8c7ho现在弹赞下挂m=250^的物体构成弹费振子。把物体从平衡位置向下拉动4脑，并给以Inj±216777/5的初速度(此时开始计时)，选X轴的正方向向下，求谐振子的运动方程。【解】以平衡位置为坐标原点
5、，设运动方程为：X=ACOS(初+0)(1)求角频率3由胡克定律:mog=kx=>k=m()g/x=12.25(A^/m)3-y/k/m-7(rad/s)(2)由初始条件求A、<1)当t=0时:x()=Acos(/)v0=—coAsin(/)A=、k+±=Vo.O42+O.22/7=0.05(/77)VCDfg0=-V°=021=0.75=>0=0.2龙,龙+0.2兀x0o>7x0.04因物体沿X轴负方向运动，由旋转矢量图知取：0=0.2兀(3)求运动方程x=0.05cos(7r+0.2”)(SI)§15・2简谐振动的合成一、同振动方向、同频率的简谐振动的
6、合成设在X方向有两个同频率的简谐振动：%!=A]COS（曲+0）x2=A2COS（曲+02）根据运动迭加原理：X=xJ+=4cos（Qf+0）式中：A=J+A;+2A
7、cos（0°—（/）、）（0_A】sin0]+人2singA】cos仇+A2cos血结论：两个同方向同频率的简谐振动的合振动仍然是简谐振动，其振帕和初相rh分振动的振帕及初相决定。讨论当A0=02-必=2kji,时，振动加强A=
8、Ai+A2
9、。当40=02_0i=（2R+1）龙,时，振动减弱A=
10、A1-A2
11、0k—0,±1,±2,±3,...二、同振动方向、不同频率的简谐振动的合成拍现象设在
12、x方向有两个不同频率的简谐振动，其振动频率分別为5和®2,振幅均为A,初和均为0,振动表达式分别为：兀
13、=Acos（a>j）x2=Acos（（v2t）其合振动为：x=xl+x2二2Acos（“2£f）cos（®f）三、互相垂直的两个同频率振动的合成合运动轨迹一般为椭圆，其形状决定于二分振动的相差和振幅。四、互相垂直的两个不同频率振动的合成当二分振动周期为简单整数比时合运动轨迹为李萨如图形。结论：两个同方向不同频率的简谐振动的合振动不是简谐振动。讨论:如果两个分振动的频率3i和32很人，H.相近时：33?则:此时，合振动的位移随时间的变化主要山cos[(®+
14、©)/2]决定，但振幅
15、2Acos[(®-®)/2]
16、随时间作绶慢
