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1、第十五章振动学基础§15-1简谐振动一、简谐振动的动力学描述1、谐振动的受力特征谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比，而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振f=-kx,k为比例系数。2、简谐振动的微分方程答+亿二0dr二、简谐振动的运动学描述1、谐振动的数学表达式——运动方程谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐振动。X=Acos(m+0)v=-Acosin(a)t+(/))a=-Aco^cos伽+0)2、简谐振动的三个特征量角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定。Ik2/r1角频率：e=、—周期：T=—频率：v——VmcoT振幅A——表示振动物体
2、离开平衡位置的最大距离。振幅A和初相(p由初始条件决定：三、简谐振动的旋转矢量表示图9.1令矢量的模为振幅A,当t二0时，它与兀轴的夹角为0,此矢量角速度3逆时针旋转，如图9.1所示。则任一时刻/：（1）矢量刁与x轴的夹角表示振子位相（3t+e）；（2）矢量刁在X轴上的投影表示振子的位移兀；（3）矢端的速度在x轴上的投影表示振子的速度-（4）欠端的加速度在x轴上的投影表示振子的加速度。o四、简谐振动的能量1、谐振动的动能：Ek=^mv2=-^692A2sin2（69f+2、谐振动的势能:E”=—kx2=—kA2cos2（o>Z+^）p223、谐振动的机械能：E=EK+En=丄fcV
3、二丄九护莎k卩22弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随时间作周期性变化，其周期为谐振周期的一半；当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。K典空例题】【例15-1】半径为R的木球静止浮于水面上时，其体积的一半浸于水中，求：（1）木球振动的微分方程；（2）木球在什么条件卜•作简谐振动，振动周期为多少？【解】以平衡位置为坐标原点，当木球从平衡下移位移x时，浸入水中的体积增加:V'=f7T（R2-x2）dx=^?2x（l木球所受的合力：,乂2f=-pgv=-7iR2x（y--—）pgJl由牛顿笫二定律：d2x=m—-dt22一冰2兀（1-為）Qg平衡位置
4、时：故23Jld2x~dt^此即木球的运动微分方程。x2当5时，莎TO木球作简谐振动a)=』3g/2R,T==2兀【例15-2］弹簧下挂m()=100g的法码时，弹赞伸长8cm0现在弹簧下挂m=250g的物体构成弹簧振子。把物体从平衡位置向下拉动4cm,并给以向上2kvn/s的初速度(此时开始计时)，选x轴的正方向向下，求谐振子的运动方程。例9-2图解【解】以平衡位査为处标原点，设运动方程为：x=Acos(e/+0)(1)求角频率3由胡克定律：mQg=kxnk=mQg/x=12.25(2/加)co=^jk/m=7(sd/s)(2)由初始条件求A、"当t=0lit：XQ=ACOS0
5、v0=-cdAsin0A=对+21=Vo.O42+O.22/7=0.05(m)Vco/g0=—_4=021=0.75=>0=0.2兀,龙+0.2兀“)e7x0.04因物体沿x轴负方向运动，由旋转矢最图知取：0=0.2兀(3)求运动方程x=0.05cos(7/+0.2^)(SI)［15-1］在一竖直的弹簧下端系一质量为血的物体，再用此弹簧改系质量为4加的物体，授后将此弹簧截断为两个等长的弹簧，并联后悬挂质量为加的物体(图9-1)o这三弹簧系统的周期Z比图9—1图9-3为O[15-2]一长为！,弹性系数为k的轻弹簧,被分割成厶与心两部分。如厶=皿2,则相应倔强系数k
6、=,k2=o【15
7、-3]质量为加的物体由倔强系数为/和他的两轻弹簧连接（图9-3）,在光滑导轨上作谐振，求系统的振动频率为。提示：相当丁-两弹簧的并联。[15-4]一谐振系统，其质量为2kg,频率为1000Hz,振幅为0.5cm,则其振动能量为。[15-5]一弹簧振子系统具的能最1.0J,0.M的振幅和1.0m/5的最人速率，则弹簧的倔强系数为，振子的振动频率为O[9-6]试在图（9-6）中画岀谐振子的动能、势能、机械能随时间而变化的三条曲线（设20时物体经平衡位置）。0图9—6【15-7]作简谐振动的质点v-r曲线如图9-7,如质点的振动规律用余弦表示，求其初位相。[15-8]在兀轴上作谐振的质点
8、，已知周期T=2s,振幅A=2cm,若t=0时质点第一次通过x=-2cm并向x轴负方向运动，求质点在什么吋刻第二次通过该处？[15-9]轻弹簧下端挂一小盘，小盘作谐振（余弦形式表示），以平衡位置为原点，位移向下为正。当小盘处最低位置吋，有一物体落到盘内并粘住，以新的平衡位置为原点，如新III平衡位置的距离小于原振幅，物体粘盘吋为计吋零点，则新谐振的初位相应在第彖限。[15-10]轻弹簧在60N的拉力作用下伸长30肋，现将质最为叫=4kg的物体悬挂在弹簧下端并使之静止，
