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1、製值今折实舲犒导吊编者：陈晓红殷明实验一1.1水手、猴了和椰了问题：五个水手带了一只猴了來到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。第一个水手醒來后，把椰了平分成五堆，将多余的一只给了猴了，他私藏了一堆后便乂去睡了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起來，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰了重新等分成五堆，每人分一堆，止好余一只再给猴了，试问原先共有儿只椰了？试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题（1562
2、1）01.2设，人dx（1）从尽可能精确的近似值出发，利用递推公式：人=一5/心+丄5=1,2,L20）n计算机从人到4的近似值；（2）从：较粗糙的估计值出发，用递推公式：ln-=—（〃=30,29,L,3,2）55n计算从人到厶。的近似值；（3）分析所得结果的可靠性以及出现这种现象的原因。1.3绘制Koch分形曲线问题描述：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的另两条边代替，形成具有5个结点的新的图形（图1-4）；在新的图形中，乂将图中每一直线段中间的三分Z—部分都用一个等边三角形的另两条边代替，再次形
3、成新的图形（图1-5）,这时，图形屮共有17个结点。这种迭代继续进行下去可以形成Koch分形曲线。在迭代过程中，图形中的结点将越來越多，而曲线最终显示细节的多少取决于所进行的迭代次数和显示系统的分辨率。Koch分形曲线的绘制与算法设计和计算机实现相关。问题分析：考虑由宜线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程，设片和乙分别为原始直线段的两个端点。现在需要在直线段的屮间依次插入三个点P2,^P4产生第一次迭代的图形（图1・4）。显然，鬥位丁驾点右端宜线段的三分Z—处，人点绕巴旋转60度（逆时针方向）而得到的，故可以处理为向量£
4、人经止交变换而得到向量PR,形成算法如2（1）匕=片+（巴_片）/3；（2）弓=片+2（乙一片）/3；（3）P3=R,+（P4-P2）xAT；在算法的第三步中，A为正交矩阵。兀.7Tcos—-sin—人33A=;・7171sm—cos—L33」这一算法将根据初始数据（片和A点的坐标），产生图卜4中5个结点的坐标。这5个结点的坐标数组，组成一个5X2矩阵。这一•矩阵的第一行为为人的坐标，第二行为片的坐标，第二行为4的坐标……第五行为4的坐标。矩阵的第一列元素分别为5个结点的x坐标，第二列元素分别为5个结点的y坐标。问题思考与实验：
5、（1）考虑在Koch分形曲线的形成过程屮结点数口的变化规律。设第k次迭代产生结点数为直，第R+1迭代产生结点数为〃如，试写出以和协+
6、Z间的递推关系式；（2）参考问题分析屮的算法，考虑图1・4到图1-5的过程，即由第一次迭代的5个结点的结点坐标数组，产生第二次迭代的17个结点的结点坐标数组的算法；(3)考虑由第R次迭代的％个结点的结点坐标数组，产生第R+1次迭代的川如个结点的结点坐标数组的算法；(4)设计算法用计算机绘制出如卜•的Koch分形曲线(图1・6)。实验二1.1用高斯消元法的消元过程作矩阵分解。设20232-315消元
7、过程可将矩阵A化为上三角矩阵U,试求出消元过程所用的乘数m21.m31.m31并以如下格式构造下三角矩阵L和上三角矩阵U_1__2023L=加211"31加321一验证：矩阵4可以分解为I和(7的乘积，即A=LU.1.2用矩阵分解方法求上题屮4的逆矩阵。记1000,Z?2=1厶=0001分别求解方程组AX=bl9AX=b2,AX=b3由于三个方程组系数矩阵相同，可以将分解后的矩阵重复使用。对第一个方程组，由于A=LU,所以先求解下三角方程组LY=b^再求解上三角方程组UX=Y,则可得逆矩阵的第一列列向量；类似可解第二、第三方程组
8、，得逆矩阵的第二列列向量的第三列列向量。由三个列向量拼装可得逆矩阵o2.3验证希尔伯特矩阵的病态性：对于三阶矩阵「11/21/3一H=1/21/31/41/31/41/5取右端向量^=[11/613/1247/60]1,验证：(1)向量x=[x.x2无3〕丁=[11『是方程组HX=b的准确解;(1)取右端向量b的三位有效数字得/?=[1.831.080.783]1，求方程组的准确解0,并与X的数据[11『作比较。说明矩阵的病态性。实验三1.1用泰勒级数的有限项逼近正弦函数y0(x)=sinx5xe[0,71}X(兀)=兀兀w[0
9、，兀/2]y2(x)=x-x3/6,xg[0,7r/2]y3(x)=x-x3/6+x5/20,xg[0,/2]用计算机绘岀上面四个函数的图形。1.2绘制飞机的降落曲线一架£机£临北京国际机场上空时，其水平速度为540km/h,飞行高度为1000m。飞机从距机场
