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1、第三章函数逼近与计算(9、18)求=+3j73-1在区间［0,1］上的三次最佳一致逼近多项式.解作变换"=［+［/(得/3=
2、f±l「+3(字「一1=丄"+1O严+24产+22/—9］』lg(/)1616g(/)是首项系数为1的四次多项式•记它的三次最佳一致逼近多项式为卩3(/)，这样16^(/)-P3(/)IIoo=IIri6g(/)-P3(/)'］-0
3、
4、oo达到了最小.利用切比雪夫多项式的性质型〜116^(/)-p3(/)=T.1(/)=-8/2+ro/%(/)=16g(r)-T4(/)=IM+25厂+22/—口o以/)的最住一致逼近多项式为古卩3(/)・进而/(•»)的最ft一致逼近多
5、项式为丄巴(2才一1)17?10(Zjl—1)3+25(2.?—1严+22(2/—1)——129128/(.r)=Lr
6、.在［―1,1］上求关于0=span1・.F｝的最佳平方逼近多项式.解内积(/・g)=/(a)g(.r)d.r.记夕)=*・p=x2.(p2=乂'・%—1利用内积定义有(卩0哼0)=29_2(°09年])=—•（卩0902）=三（/•卩0）=1•求解法方程组(年1902)=〒9(/呼1)=+•（卩29年2）=〒15T282232L52T2T272T2T2~9“0G]"21?13^0.1171875,105=2—^1.61()62364105〜128-0.82031251f(x
7、)的最佳平方逼近多项式为q)0)+ai®+d2%=0・1171875+1.640625./—0.8203125*第川章数值积分与数值微分（1）1・确定下列求积公式屮的待定参数•使其代数精度尽呆高•并指明所构造出的求积公式具有的代数耕度：1）/（.r）cLr~人_］/（一力）+A°/（0）+A./"）；■—h•2h2）/（y）（Lr~+Ao/（O）+人/（力）；J—2h•13)J-i/(—1)+2/3)+3/(孔)I）人心）dr~"/（（））丁门+弘2［厂（（））_厂“）］.Jo2解将/（Q=1・心文2分别代入公式两端并令其左右相等•得/k_1+/kg2h—hA_i+hA.i=09/U+/"i=
8、亍/』解得心=A=牛人。=牛所求公式至少具有2；欠代数精确度•乂由于x1d.r7^£-（—〃）'+丄•h.—h03故f（x）dr~£/（一h）+^hf（0）+4/<厶）具有3次代J—hdOO数精度.2）步骤和方法同（1）・A_1=人1=y/?.Ao=—y/i.3次代数精度.3）当f（x）=1时•易知有1,/（.r）（l.r=£[/（—1）一2/（•门）+3./（心）]J—13令求积公式对/•（工）="准确成立•即J—1+2心+3孔=0则可解得I1+2jrf+3^2=2J】=-0.2898979]x2=0.6265986
9、力i=0.6898979]孔=-0.1265986将/(/)=x3代入已
10、确定的求积公式，贝l]11r3d.r工亠_f（—1）+2/（◎）+3f（）:—i3故求积式具有2次代数精度•所求节点为■巧=—0.2898979.jr2=°・5265986或x—0.6898979tj?2=—（）・1265986.I)求积公式只含有一个待定参数4当/(x)=17・时•有
11、.厂=仪1+1］+()・役m=%［0+〃］+肿「1—1］JoZJoZ故令/(.r)=x2时求积公式准确成立.即•/lIX2djc=£0+/r)+ah22X0—2hJ0/解得a=右.将/(“)=力3,十代入上述确定的求积公式，有rh/,A2=—0+A3I+—0—3/rJoZ1Z(ff/,2^dx#牛［0+於］
12、+岛［()—4/鬥JoZ1Z故所求求积公式具有3次代数精度.第五章常微分方程数值解法(4、5)川梯形法解初值问题yy=()■"y(0)=1.n证明其近似解为*=2二h•并证明当/,->0时•它收敛于2+力)原初值问题的准确解》=分析本题芳查了梯形法及其收敛件.证明梯形公式为V卄1=%+善fg•%)+/(/卄17卄1)]代/(/•»)=—y入上式•得歹卄1=yn+-t(—%—v卄1)2-//2+/;2yn-=v.r>o•以/,为步长•经〃步运算可求得$(*)的近似值%•故将”代入上式有2—h2+力limy”=linih—o'—o2+人2hx2h「2+AhlimhT2h2+力无24.利用欧拉方法
13、计算积分/山在点"=0.5.1.1.5.2的近似J0值.(工2解令》(.7、)=ez(”•则有初值间题J0/2y—ez.y(0)—0.对上述问题应川欧拉法°取/，=()・5•计算公式为丿卄］=yn+0.5er«・〃=()91・2・3由』(())=3丿0=()9得歹(0・5)~y=0.50()y(l.O)~%=1.142012708j/(l.5)~%=2.501153623y(2.0)壬歹4=7.2
