张数值分析部分答案

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1、6.设为互异节点，求证:(1)工£//(兀)三扌(k=0,1,・••/);(2)兀)律⑴三0伙=0,1,…/)；7=0证明(1)令/(X)=xk若插值节点为X.,J=O,l,---,72,则函数/(X)的“次插值多项式为厶3=£天：1心)oJ=o严1)点)插值余项为Rfl(x)=/(x)-Ln(x)=J——%(X)(/?+1)!XVA：<72,・•・严％)=0••R”(兀)=o••工=xk(k=0,1,•••,〃)；戶0⑵-兀)鸡⑴7=0j=0i=Q=£c；(-泸(£也心))/=0j=0又•/0<;<

2、n由上题结论可知^Ixkjlj(x)=xiJ=0原式二工C；(-X)Zfi=0=a-x)k=0得证。7•设f(x)eC2[a9b]且/(a)=f(b)=0,求证:max

3、/(x)

4、<

5、(/,-.)2max

6、rW解：令心/产b,以此为插值节点，则线性插值多项式为厶(x)=/(x0)XA,+/(Xj)观一兀I兀_兀。“、x_b—八x_a==f(a)—+f(b)——a-bx-a又-f(a)=f(b)=O・•・厶⑴=0插值余项为R(x)=/(x)一厶(x)=*fx)(x一x0)(x-州)/(x)=^-/7x

7、)(x-a:())(x-x1)乂v

8、(x-x0)(x-xI)

9、-］寸（兀_勺）+（无1_蔦(i)14.若f(x)=。0+。]兀+•••+%_]*"4-anxn

10、[n(),k=n-证明：•・•7*0)有个不同实根兀1，兀2,…，暫-fl./U)=a。+%兀+••.++anxn:.f(x)=an(x-xlXx-x2)-x-xJ469zi(x)=(x-x1)(x-x2)---(x-xJ而^(x)=(x-x2)(x-x3)

11、«--(x-x,i)+(x-xi)(x-x3)---(x-xm)••-砒U7）=（丹-X]）（形_兀2）…（©一形_

12、）（形-◎+]）•••（◎_£）令g(x)=xk,g["…，讣蠢应0,0

13、三次样条函数，证明:=f[fM-S"⑴Fdx+2fS"（X）[厂⑴一S0）『dx(2)若/(x.)=S(x.)(z=0,1,•••,/!),式中齐为插值节点,fLa=x0

14、[Sx^dx=f[/7x)-S"C<必+2fSJ)[厂⑴-Sx)]dx⑵(S0)[厂⑴-S"⑴肚：-([/©)-S'Cr)M[S〃(x)]二『Sj)d[广⑴―S©)]二SJ)[广⑴-S3]=S"@)MQ)-SG)]-S"(a)[/S)-Sa)]-『S%r)[/©)-S3M=s"@)[/©)-sQ)]-s"(d)”3-sa)]-£sTE：G)r[广(x)-s©)]dxR=o2呗=s"(b)[/©)-SQ)]-Sa)[fa}-S3)]—£s气火如)[广(兀)一S©)]知&=o2xk=sn(b)[f

15、f(b)-s⑪)]-s"⑷[f⑷-SS]第三章22.已知实验数据如下:xi1925313844yj19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如5=«+bx2的经验公式，并计算均方谋差。解：若s=a+bx2,则①=spanl9x2}则阀A5,阀：=7277699,（0o，®）=5327,（几0。）=271.4,（.f,%）=369321.5,则法方程组为'55327、7、<271.4、、53277277699,少丿,369321.5丿从而解得ja=0.9726046[b=0.050035

16、1故y=0.9726046+0.050035lx241均方误差为》=[工(yg)—儿)22=0.1226；=0第四章1(1)求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。(1)若(1)[/(兀皿uAJ(-h)+4/(0)+AJW令/(x)=1,则2/i=A_

17、+Aj+A

18、令/(x)=x,则0=-Aj/i+A}h令y(x)=x2,则7-h3=h2A.+A2