浅谈用定积分的定义解决极限问题

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1、浅谈用定积分的定义解决极限问题王涛（周恩来政府管理学院政治学与行政学0612723）摘要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。本文主要讨用定积分的定义来解决求极限的问题。关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积在高等数学的学习中，微积分的学习占有很人的比重，地位也是很重要的。微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。我们通常把微分运算看作正向运算,而把

2、积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点:加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。然而正逆运算是直通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。下而就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。但

3、这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范曲1，而我们知道微分与积分是直为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。定积分的定义：设函数y=fM定义在区间［a,b］上有界，在［a,切上任意插入分点：a=xQ

4、

5、山

6、

7、=max仏无}，如杲当IK-HT0时,和式/”的极限存在，且此极限与［a,b］i

8、=1勺5的分法及乙的取法无关，则称函数/⑴在［d,b］上是可积的，并称该极限值为/（兀）在k，b］上的定积分，记作fhf（x）dx,Ja其中函数/(%)称为被积函数，fMdx称为被积表达式，X称为积分变量，d称为积分下限，b称为积分上限，［⑦叶称为积分区间。'.n这个定义看上去很复杂，但只要抓住(Jtf(x)dx=lim工/(©)△"即可。我们在

9、

10、ax

11、

12、->o/=i后而所要介绍的用定积分的定义解决极限问题也是围绕着这个公式展开的。从这个式子我们也可以看出极限与定积分Z间的关系是很紧密的。有了定积分的定义，我们用具体例题来看怎样用左积分解决极

13、限问题。例12-求lim・71sin―+n+XsinnTn+-2.3龙sin+...+nH——3・H7TsinItTn+—n解：注意到:1厂•龙.2^r.3兀•[sin—+sin——+sin…+sinh+1nnnnn+l111n+-n+-n+-23n.71.2.71.3"・A?7Tn7rsin—sin——sin——sin<—+—+—+…+—Jk7i1「•龙・・3龙・ng1n・—[si—sinsi—...+sin-—]=—工sinnnnnnnk=由定积分定义，对上面不等式的右端取极限，得到lim丄Esin—=fsin加dx二Z“toonk=in

14、」)n而不等式的左端取极限，有o.・1二.kn-ng•krrlimEsinlim•—工sin〃T8n+1«=in/?+1nn兀rh夹逼定理知lim"TOO・tv・2/rsin—sin—n+nn+1Fn4——2.3/r.sin——sin——+++L11n+—n+—3n=27T(*)左右两边的式子取这道题就是典型的用到定积分的定义来求极限的值。当我们对lim的形式•因

15、

16、Ax

17、->O/=11nkjl极限时，我们发现lim-Zsin—nJ以衣为形如f(x)dx=konk=in为/(x)=sin^-为01］上可积函数，所以对于01］任意划分及$的任意取

18、法极限limf/（^.）Ar.都存在H.相等，此时令心二丄，即把10,l]n等分，A=i为分点，由iiA.di^o/=in1n定积分的定义我们得到1.k7Tlim-Zsin——"—>8nk=2然后再収右边的极限，由夹逼定理我们得到最后的结果一•71这道题解题的关键就是用到立积分的定义，把求极限问题与定积分的足义联系起來，很容易的解出题目。让我们再来看一个例子.例2.求limn->oow：/(n+)(n+2)...(/?+//)n^/(/?+1)(/?+2)•..(n+n)lim/?->oon=lim『+曲+补—）=limNT00(1+7?

19、)(1)...(1d)nn于是,我们设y=J(1+n)(l++-)vnn取对数Iny=丄乩(1+丄)ny=in于是有limIny=lim