定积分的定义

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1、第六章定积分§6.1定积分的定义一、曲边梯形的面积从几何的角度，利用曲线的切线斜率可引出导数.现在通过计算曲线所围的平面图形的面积可引出定积分。已给连续曲线,,(假定)，问S=?求S的程序是：1.用分点，将分成n个小区间,长度分别为.2.在每个小区间上任取一点,则（以直代曲）2333、令.当分点数n无限增大，且时，总和的极限就定义为曲边梯形的面积，即,其中称为函数在区间上的积分和。而把的极限值称为在上的定积分。记为.例计算抛物线,直线和轴所围成的曲边梯形OAB的面积S。解：用均匀分点将区间分成n个相

2、等的小区间，每个小区间的长都等于。而每个小阴影矩形的面积总和为：==233=此是曲边梯形OAB的面积的近似值。分点愈多（n愈大），则近似愈好。从近似到精确值，只须取极限：把处理此问题的数学思维方法加以概括抽象，便有定积分定义。定义：设函数在上有定义。用分点将任意分成n个小区间，每个小区间的长度为记，在每个小区间上任取一点，作乘积。其和称为在上的积分和。令，若积分和有极限（且与分法以及的取法无关），则极限值称为在的定积分，记233其中称为积分号，b,a称为定积分的上限，下限，称为积分区间。如果在上的定

3、积分存在，则称在上可积。定积分是作为和式的极限，是解决“求总量问题”的数学模型。这种和式极限方法是通过“化整为零”,在足够小的局部范围内用初等数学方法求出部分分量的近似值（以直代曲）。只有当对总量S无限细分，即当时，总量S的近似值（）才能转化为总量的精确值（这是辩证法的运用）。反过来，有了定积分的概念，曲边梯形的面积A=()若，则，此时曲边梯形的面积A233即=-A.所以当时，定积分的几何意义是：它等于曲边梯形的面积A加上一个负号。注意：定积分是一个数，它取决于被积函数以及积分的上、下限。而与积分变

4、量采用什么字母无关，即==为运算方便，规定：当=-当，=0。如下三类函数都是可积的：定理1：若，则在上可积。定理2：若在闭区间上只有有限个不连续点，则在上可积，即分段连续函数是可积的。定理3：若在闭区间上是单调有界的，则在上可积。§6.2定积分的基本性质性质1（定积分的线性性质），若，，则其中，为任意常数。（用定义可证）性质2（定积分对区间的可加性）由此可知下图中及直线与轴所围的平面图形的面积233例1例2==233=性质3若，则事实上，=所以例求极限所以性质4若，则有，证233性质5若在，则证：性

5、质5的几何意义：性质6若在上可积，则在上也可积，且*性质7（积分中值定理）若，则至少存在一点，使证由性质5可知其中，所以，由连续函数的介值定理有即积分中值定理的几何意义是右图所示。233叫做上的平均值。例判断的符号。解§6.3微积分基本公式定理1（微积分基本公式）设，是的一个原函数（即），则有……………(1)此公式也叫牛顿-莱布尼兹公式例如问的一个原函数为，则由公式(1)有公式（1）的证明：当表示曲边梯形ABCD的面积。任取，则曲边梯形的面积是的函数，若记为则为区分积分上限与积分变量的不同，记233

6、是积分上限的函数，而=而（积分中值定理）=于是，我们有如下结论：结论1对积分的上限求导等于被积函数在上限的值。结论2是的一个原函数（此结论称为原函数存在定理），而的任意两个原函数与间有关系.于是.由的定义，有.为书写方便，常记作233或例3求。解=例5例6此解法是错误的，在[-1，1]上不连续，且在处变无穷。*例7=*例8设实数满足，试证方程，在（0，1）间至少有一实根。证：设=，则==由积分中值定理知，存在，使得233，即在（0，1）间有实根。例9*例10*例11设时，连续，且，求解两边对求导()

7、*例12设（），试求的极值点。解==令，得驻点又233故知为的极大值点。为的极小值点。*例13求极限*例14求积分所以233===*例15（用积分中值定理）计算。解法一当时，有故解法二（若用积分不等式更简单）*例16求解法一其中在0与之间。解法二用洛必达法则=233*例17求解==（或说）原式极限为0。*例18求，其中是连续函数。解*例19设在上可微，且，证明：在内至少存在一点，使证令，则在上可微，由积分中值定理得，又上满足罗尔定理条件，故存在一点，使，即，亦即.*例20设，求.解*例21设，求.解

8、233=*例22设，求.解====*例23设是连续函数，且求解代入原式有即，故§6.4定积分的换元法设函数，令，如果（1）在区间上有连续的导数；（2）当从变到时，从单调地变到.则有,换元要换限233*例1解令，即==*例2解令从几何上看，在上，曲线是圆周的.如图显然其下的面积.*例3如果是偶函数，即，则233证：对右边一式做变换，则有*例4同理可证：若是奇函数，则例5例6解令233