浅谈数学解题的基本思路

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1、浅谈数学解题的基本思路常宁市教师进修学校王洪生【摘要】：数学解题应在明确目的的基础上，利用相关的数学知识、方法和解题经验，理清条件和目标间的实质性联系，确定解题方法；抓住数学问题的特征，通过分析、类比进行广泛的、合理的联想，运用多方面知识，设计出多种解题办法，然后综合比较，找到最佳解题途径。【关键词】：数学解题基本思路认真审题，明确目的；抓住问题的结构特征，开阔思维；侧面观察，逆向思维。我认为是解答数学问题的三条基本思路。…、认真审题，明确目的解题必须有明确的目的，发现“怎样完成题目的要求？”是解答数学问题的基本思路。一般地，解题应在明确目的的基础上，利用相关的数学知识、方法和解题经验，理清

2、条件和n标间的实质性联系，确定解题方法，使n标成为制定解题方法的依据。如用“分析法”证题，在解析几何中常用“设而不求”等都是审题后采取的恰当方法，是这一基木思路的具体体现。例：已知辐角为G、4的复数乙、Z?满足条件乙+Z2=5z,ZlZ2=4,求COS(&]2)的最大值。分析：此题口标主要是“最值问题”，根据求最值值问题的i般方法，不难确定解题的思路如下：利用复数知识，设法建立起cos(G-2)关于乙或Z?的函数关系。14id设IZ,1=r,IZ21=一,则Z]=r(cos0X+isin,Z2=一(cos02+isin02)。〜rr14代入Zf+Z2=5/中,有：厂(cos&

3、+isi

4、n&J+—(cos^2+zsin<92)=5/,由复数14相等的定义有：Vrcos0x+——cosg=0r14rsin0}+—sing=5r根据口标要求，若能从（*）式屮得到cos（q-2）的表达式就行，于是将（*）式两方程两边平方相加，得：1%宀号+28cos（q-$）=25厂GQ、251/2196、/3122828r228由基木不等式知，当r=714时，cos©-©）取得最大值-箱二、抓住特征，开阔思维问题的结构特征是信息源，只有抓住特征，通过分析、类比进行广泛的、合理的联想，运用多方面知识，设计出多种解题办法，然后综合比较，找到最佳解题途径。例：试求函数y=^si;&+l的值域。cos

5、&+2分析：解答本题的一般方法是：将函数变形为5sin0-ycos0=2y-l,即变形为dsina+bcosQ的基木形式，然后利用sin（&+0）的有界性求取值域。若仔细观察分析结构的特点，发现可将y看成是由动点M（cosV5sin0）和定点A（-2-1）连线的斜率，则解答过程更为简单，显然M点的轨迹是椭岡2x2+—=1,当直线AM与椭圆相切时得到斜率的最大值和最小值。令切线的斜率为则切线方程为y=kx土』疋+5•・•过点A（-2,-1）:.-=-2k±^lk2+5即3^2-4fc-4=0,解彳辛k=一土或R=232三、侧面观察，逆向思维数学题的构造，变化多端，有的内在关系深藏其底，难以观

6、察，因而应注意对问题的深层结构不断认识，有时应转换观察问题的角度，如进行逆向思维，直至找到解题途径。如有些排列中的有些元素“不相邻”和“相邻”问题，先宜接排几个特殊元索有困难，但若采用“插空法”或“捆绑法”则问题迎刃而解。例：在ABC中，角A、B、C的对边分别为°、b、c,若求2'工n乙4+C2分析：题目是求证35^^，即2B3B丄或2/A+C、.1Hn―rcos（）<—H卩可。22证明一：，应用正弦定理得：2.„sinA+s

7、inC.A+CA-C,A+CsinB<=sincos—223・・•A+B+C=龙，:.B<-即*5士乞o22证明二：叱和余弦定理得：2cosB=因Bw（0,龙）及y=cos兀在（0,龙）上单调递减,得B<-・・・A+B+C=r,即232总之，解题吋，问题本身是思维的出发点，只有通过认真审题，抓住问题的外形特征，内部结构等特点，明确目的，展开广阔的思维，并对思维结果不断地针对目标进行评价，以控制解题方向或不断的调整解题思路是解答数学问题的

8、基本思维方法。参考文献:1、《数学》（职业模块）2、《人民教育》2009.8期湖南省中等职业教育规划新教材数学解题的思路2011-4-10