吴大正连续系统的时域分析

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1、第二章连续系统的时域分析时域分析方法：即对于给定的激励，由系统的数学模型（微分方程）求得其响应的方法。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。本章主要内容2.1LTI连续系统的响应2.2冲激响应和阶跃响应2.3卷积积分2.4卷积积分的性质2.1LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于0-和0+值三、零输入响应四、零状态响应五、全响应其经典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）齐次解是齐次微分方程y(n)+a

2、n-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。齐次解yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)一、微分方程的经典解表2－1不同特征根所对应的齐次解特征根齐次解yh(t)单实根Cetr重实根(Cr-1tr-1+Cr-2tr-2+…C1t1+C0)et一对共轭复根1,2=jet[Ccos(t)+Dsin(t)]或Acos(t-)其中Aej=C+jDr重共轭复根[Ar-

3、1tr-1cos(t+r-1)+Ar-2tr-2cos(t+r-2)+…+A0cos(t+0)]et齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。问：若f(t)=c（常数），特解形式？？解:(1)特征方程为λ2+5λ+6=0其特征根λ1=–2，λ2=–3。齐次解为yh(t)=C1e–2t+C2e–3t？？因为f(t)=2e–t，故其特解可设为yp(t)=Pe–t将其代入微分方程得Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t解得P=1于是特解为yp(t)=e–t例描述

4、某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解。其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t注意：自由响应的系数Cj由系统的初始状态和激励信号共同来确定自由响应强迫响应解：齐次解同上。由于f(t)

5、=e–2t，其指数与特征根之一相重。故其特解可设为yp(t)=(P1t+P0)e–2t代入微分方程可得P1e-2t=e–2t所以P1=1但P0不能求得。全解为y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t将初始条件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解为y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0注：上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。（2）当f(t)=e-

6、2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解。二、关于0-和0+值在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)。y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)（1

7、）由于上式对于所有t都成立，等号两端δ(t)项的系数应相等。由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y’(t)在t=0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。故y(0+)=y(0-)=2例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0