学的精神思想方法2

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1、数学的精神、思想、方法西北师大教育学院张定强2007-11-5内容简介：数学概貌谈无限：集合和基数说变化：关系和函数代数：运算和结构几何：拓扑与图论（图形与变换）矩阵：生活中的数学统计：聚类与层次分析算法：从验血方案谈起对策：田忌赛马（选举中的数学）第二讲谈无限：集合和基数1、集合的基本概念具有一定性质的事物的全体（不精确：事物、性质、全体）理发师悖论：他给一切“不给自己刮脸的人”刮脸。理发师的服务对象组成了一个集合B，理发师自己是否属于B却出现了矛盾，若属于B，自己成了自己服务的对象，他就应该给自己刮脸，这样他就属于给自己刮脸的人，从而他就不属于B；若不属于B，即他给自己刮脸，

2、他自己就不是服务对象，他就不应该给自己刮脸，因而产生了矛盾。数理逻辑。2、集合的基数我们把表示集合内元素个数的数称为集合的基数。一种思想，方法。一一对应作用与价值：从量的属性来刻划事物的差异。案例：希尔伯特饭店问题的讨论。引发思考的问题：无限；数的类别；模糊集合极限方法：一尺之棰，日取其半，万世不竭。一个数学案例：对极限的进一步认识。活动1观察算式找规律过程1、分组活动。2、2人一组，观察下列算式1=0+12+3+4=1+85+6+7+8+9=8+2710+11+12+13+14+15+16=27+64根据上述算式找出它们的一般规律，并用适当的数学式子表示出这个规律。3、在小组内

3、展示找出的规律，并解释理由。4、每位参与者独立观察下列各个和式的值。0+1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，……找出它们的一般规律，并用适当的数学式子表示出来。在小组内进行交流。5、分组讨论下列问题。（1）在上述活动中，你对发现的规律确信吗？怎样检验你发现的规律？（2）从上述活动中可总结出一种研究问题的一般方法，如何具体表述这种方法？怎样用这种方法求连续自然数的立方和13+23+33+43+…+n3?6、各组展示讨论结果。7、评论与总结。活动2研究方程的解过程:1、分组活动。2、仔细阅读下面的问题。假定u是正奇数，问方程4u=x2+y2+z2+w2(*)有多少组x,y,z,w

4、的正奇数解？3、每位参与者取u=1，3，5，…，25，分别考察符合条件的方程（*）的解及解的个数，列表显示结果。考察u与方程解的个数之间的关系，找出一般规律，将其表述为一个数学命题。4、在小组内展示、交流各人的成果。5、各组将本组成员的成果汇总，记录在大白纸上，推选一位代表向全班介绍。6、分组讨论下列问题。（1）你是怎样探求方程解的个数与u的关系的？（2）归纳法有哪些特征？7、各组展示讨论结果。8、评论与总结。第三讲说变化：关系和函数事物之间存在着各种各样的联系，而事物的性质也只有从它们的相互联系中才能被认识。1、等价关系（血型A、B、AB、O；关系、同乡、校友）：自反性、对称性

5、、传递性）2、序关系（大于、辈份：反对称性、传递性、二歧性）3、相关关系（身高与体重、数学与物理成绩）和函数关系对连续的进一步探索和认知相关系数：强相关、弱相关、小于0﹒3时两个量几乎无线性相关关系；大于0﹒3时两个量有线性相关关系；0﹒3—0﹒5时两个量之间是低度线性相关关系；0﹒5-0﹒8时两个量是显著线性相关关系；0﹒8以上时两个量是高度线性相关关系某地区的气温与当天发生的交通事故数列表如下：相关关系：R=0﹒465气温1423162230341927交通事故463681157几种重要的函数基本初等函数：指数函数、幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数初等函数：经过四则运算

6、及复合运算形成的函数。形成对客观存在事物内在关系的刻画用精确来描述大千世界日历上的数学问题（你能提出什么样的问题，发现哪些规律）12345678910111213141516171819202022232425262728293031活动分割与着色活动目的:经历实际操作、观察特例、大胆猜测、探求一般结论、验证结论的过程，从中感受发现的乐趣。活动1分割纸片目标:找出分割纸片中蕴含的一般规律时间:45分钟材料:32开纸，笔，尺子1.分组活动。各组发32开纸若干张。2.参与者两人一组合作完成如下任务。在32开纸上画一个圆，再用笔和直尺画线段把圆分割，画1条线、2条线、3条线、4条线、5

7、条线，使所分割出的纸片块数尽可能多。3.分组讨论下列问题。（1）在上面的分割过程中，要使分割出的块数最多，应该如何操作？（2）若用n条线分割，分割产生最多的块数为f(n)，那么块数f(n)与分割线数n的关系式如何？试加以证明。4.各组展示讨论结果。5.各组集体设计一个适合于学生的参与式教学活动，使学生在活动中通过动手操作、观察等，发现一些一般性结论。5.评论与总结。6.各组展示设计的活动。活动2立方体着色目标:发现着色立方体中蕴含的一般性规律。时间:45分钟材料:纸，笔，示意图。