两个计数原理与排列、组合

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1、第十三章计数的原理两个计数原理与排列、组合第67讲两个计数原理的应用【解析】(1)每人选报一个项目，都有三种选法，当每个人的项目选定后，这件事才算完成.故由分步计数原理，知共有3×3×3×3=81种不同的报名方法.(2)若以学生获得冠军的可能性考虑，第一位学生获得冠军有4种可能性(没有得冠军，跑步得冠军，跳高得冠军，跳远得冠军)，但考虑第二位学生时，并不是有4种可能，他受到第一位学生得冠军的可能性的影响，因为第二位学生要获得冠军，要除去与第一位学生获得冠军的相同的情况，考虑第三位、第四位获得冠军，相同的情况就会变得越来越复杂.显然，以学生获得冠军的可能性来分步，会使

2、解决问题更加困难.若以每个项目冠军产生的可能性考虑，问题的思路就清晰多了.完成三个项目都产生了冠军，事情才算完成，每个项目的冠军只有一个，4个人都有可能获得某个项目的冠军，所以每个项目的冠军都有4种可能的结果.由分步计数原理，知共有可能的结果为4×4×4=64种.点评应用分步计数原理时，也要明确分步的标准.分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，各个步骤完成了，这件事才算完成.本题中第(1)问，是以人来分步的，每人选报一个项目，都有三种选法，4个人都选定了项目，这件事就完成了；第(2)问是以项目分步的，每个项目的冠军都有4种可能的结果，三个项目的冠军确定了，

3、这件事就完成了.排列问题【解析】(1)分两步：甲、乙、丙捆绑在一起，有=6种方法；把甲、乙、丙三人看成一个人，与其他4人共5个元素做全排列，有=120种方法.所以有=6×120=720种不同的站法.(2)分两步：先将其他4人站成一排，有=24种方法；再将甲、乙、丙三人插入到这4人的空隙中(包括两端)，有=60种方法.所以有=1440种不同的站法.点评排列问题中的难点就是定位排列，捆绑和插入是两种重要的解题思想方法.元素相邻，先将其捆绑并看成一个“大”的元素与其他元素进行排列，再对捆绑的元素进行排列，这就是“捆绑法”；元素不相邻，先把其他元素进行排列，再把不相邻元素插

4、入先排好的元素(包括两端的空隙)之间，这就是“插空法”.【变式练习2】求用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数．组合问题【例3】从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分别求符合下列条件的选法总数为多少？(1)A、B必须当选；(2)A、B都不当选；(3)A、B不全当选；(4)至少有2名女同学当选；(5)选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任.【解析】(1)只要从其余的10人中再选3人即可，有=120种；(2)5个人全部从另外10人中选，总的选法有=252种；(3)直

5、接法:分两类：A、B一人当选，有=420种；A、B都不当选，有=252种；所以总的选法有420+252=672种；间接法:从12人中选5人的选法总数中减去从不含A、B的10人中选3人的选法总数，得到总的选法有=672种；(4)直接法:分四步：选2名女生，有=10×35=350种；选3名女生，有=210种；选4名女生，有=35种；选5名女生，有=1种.所以总的选法有350+210+35+1=596种；间接法：从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，即总选法有=596种；(5)分三步：先选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有=35种；再

6、选出2男1女，补足5人的方法有=60种；最后为第二步选出的3人分派工作，有=6种方法.所以总的选法有35×60×6=12600种.点评组合应用题是计数问题中的核心问题，题目呈现方式通常由关键词表现出来，如“至多”“至少”“平均分摊”等.解决的方法一般有分组法、排除法、间接法.要注意掌握几何问题、分配问题、分组问题的处理方法.排列与组合的综合应用【解析】分三步：先确定一个空盒，有=4种方法；选出2个小球捆绑，有=6种方法；将捆绑的小球与其余2个小球看成3个小球，再放入3个盒中，有=6种方法.于是共有=4×6×6=144种方法.点评恰有一个空盒，说明必定有一个盒子内放2

7、个球，这样问题就分解为三个子问题，即哪一个盒子不放球；哪两个球放在同一个盒子里；将球放入盒子里有没有顺序.这三个问题是相互依存的，故要用分步计数原理.本题在将空盒留下后，问题就转化为“4个不同的小球放入3个不同的盒子里，且每个盒子里至少放一个球”，点评可以这样分析：先每个盒子中放一个球，有=24种放法；再将第4个球放入3个盒子的任何一个，有=3放法，于是放法总数为=288种，这一结果与上述结论不吻合，原因出在将第4个球放入盒子中时，使盒子中的两个球无意识地加入了顺序，当两个球无顺序时，即为288×=144.【变式练习4】有6本不同的书.(1)甲、乙、丙三人每人2