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1、1、如图,已知:AABC'I',AB=AC,ZBAC=90°,分别过B,C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E,F。（1）证明:EF与斜边BC不相交时,则有EF二BE+CF（如图1）。（2）如图2,EF与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。（8分）2、CD经过Z8CA顶点C的一条直线，CA=CB.E,F分别是直线CQ上两点，且ZBEC=ZCFA=Za.（1）若直线CD经过ZBC4的内部，HE,F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1,若ZBCA=90,Aa-90,则BECF；EFBE一AF（填“〉”,“”或“二”）；
2、②如图2,若0°!%中，AB-AC,D、A.E三点都在直线加上，并
3、且有ZBDA=AAEC=ABAC=a,其中Q为任意锐角或钝角.请问结论D&BD'CE是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.⑶拓展与应用：如图（3）,1）、E是D、A.上、三点所在直线加上的两动点（〃、A.0三点互不電合），点/，、为"AC平分线上的一点，且HABF和△■4G，均为等边三角形，连接％、CE,若ZBDA二上AEG上BAC,试判断△处的形状.（图2）（图3）（第23题图）1、学完第2章“特殊的三角形”后，老师布置了一•道思考题：如图，点M、N分别在正三角形ABC的BC,CA边上，且BM=CN,AM,BN交于点Q.（1）
4、判断AABM与ABCN是否全等，并说明理由.（2）判断ZBQM是否会等于60°，并说明理由.（3）若将题中的点M,N分別移动到BC,CA的延长线上，且BM=CN,是否能得到ZBQM=60°?请说明理由.CBC2、学完“儿何的冋顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M,N分別在正三角形ABC的BC,CA边上，且BM=CN,AM,BN交于点、Q.求证：ZBQM=60.(1)请你完成这道思考题；(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如:①若将题中“BM=CN”与“ZBQM=60°"的位置交换，得到的是否仍是真命题?②
5、若将题中的点N分別移动到BC,CA的延长线上，是否仍能得到ZBQM=60°?③若将题中的条件“点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上S是否仍能得到ZBQM=60°?请你作岀判断，在下列横线上填写“是”或“否J①:②；③・并对②，③的判断，选择一个给出证明.3.某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图1,在正三和形AABC中，M、N分别是AC.AB±的点，BM与CN和交丁•点O,若ZBON=60°,则BM=CN；②如图2,在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD±的点，
6、BM与CN和交于O,若ZBON=90°,则BM=CN：然后运用类比的思想提出了如下命题：③如图3,在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD.DE±的点，BM与CN相交于点0,若ZBON=108°,则BM=CN.任务要求:⑴请你从①.②、③三个命题中选择一个进行证明；(说叽选①做对得4分，选②做对得3分，选③做对得5分)(2)请你继续完成卜•列探索:H•与CN相交所成的一个角是图3①请在图3屮画出一条与CN相等的线段DH,使点H在正五边形的边上,A108%这样的线段有几条?(不必写出画法,不要求证明)NDMOc1、如图1,点B是线段AD上一点，Z
7、ABC和ZBDE分别是等边三角形，连结AE和CDo（1）求证：AE二CD.（2）如图2,点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断△PBQ的形状，并证明。补充：己知：如图，点C为线段AB±一点，AACM.ZCBN是等边三角形，请说明AN=BM的理山。现要求：（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°,使A点落在CB上，请对照原题图在下血图屮画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所得到的图形中，结论“AN二BM”是否还成立？请说明理由。（3）在（1）得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断AABD与四边形M
8、DNC2、（2009年常德市）如图9,若zMBC和少皿为等边三角形，M,N分别EB,CD的中点,易证：CD=BE,△4MN是等边三角形.（1）当把绕A
