基础数论例讲

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1、【数论十讲】基础数论例讲陶平生内容与方法：整除性、唯一分解定理、质数与合数，公约数与公倍数、高斯函数、勾股数、不定方程、同余、剩余类、欧拉定理与费尔马定理、平方和问题、久进制；因数分析法、调整法、构造法、回归与化归、无穷递降法、极端元索法、递推归纳法、映射对应法、优化假设法1、证明每一个正有理数都可以被写成一个这样的商的形式：其分子和分母均为由素数开始的阶乘的乘积.证明：采用构造法，对于任一正有理数纟，其中正整数互质，只要证，a,b均可被写成一个这样的b商的形式：其分子和分母均为由素数开始的阶乘的乘积.对于正整数讣，设它们的最大质因了为〃，从分子

2、或分母中提取"的幕，得到-=/•-,（k为止整bd数或负整数），c,d为互质正整数，且（〃,"/）=1.于是有兰二一£,继续考察有理数，将其化为既约分数后，记为：的最大质因子小于p,且-=（p!/A.（p耐）=1.再对有理数鱼重复以上作法，只要卩勺>1,这种递降步骤便可继续下去，直至最大质因子pr=2，而2=2!,故其幕2W=（2!）W.因此本题的结论成立.2、设正整数a不是完全平方数，求证：对每一个正整数弘S”={^}+{^『+・・・+{^}"的值都是无理数.这里{x}=x-[x]f其中[兀]表示不超过兀的最大整数.证明：设c2

3、）2,其中整数c>l,贝ij[V^]=c,Rl/a-c）k=xk+yk4a,keNxk,ykeZ.则S”=（州+兀2+.・.+尢“）+（必+力+...+儿）石・……①下而证明，对所有正整数弘人=工儿工0.由于xk+儿忑+i+儿+i需=（血一'消去仪}得'九+2=-2c几+]+（—/）%，②其中y=1,y2=一2c.山数学归纳法易得畑->0,畑<0・③由②和③，可得九+2一畑+1=一（2。+1）九+】+（°一°2））加<°，畑+2+九+]=—（2c—1）畑+1+（°一刊畑V0,相乘得

4、此+2一此+1>0,乂因必-才>0,故卜2』<

5、九•又由畑+1-畑=—（2c+l）y“+（。-/）畑">o,九+】+九=一（2—1）畑+（。一。2）畑—1>°，相乘得此+1-此>0，即卜2jVy2k+l・所以，対所有正整数舁，都有

6、儿

7、<

8、儿+】

9、•④故由③④得,对所有正整数n,都有y2k_{+畑0.因此T2n-l=M+。2+儿）+…+（>2n-2+）9-J>。，Tln=O1+儿）+（儿+儿）+•••+（林1+力“）<0，从而对所有正整数小都有人工。，故由①知，S”是无理数.3、在电脑屏幕上给出一个正2011边形，它

10、的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作:每次可选中多边形连续的G个顶点（其中Q是小于2011的一个固定的止整数），一按鼠标键，将会使这a个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；（1°）、证明：如果a为奇数，则可以经过冇限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也町以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；（2°）、当a为偶数吋，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论.（2011,江西预赛）（1°）、证明：由于2011为质数，而1<«<2011,则@,2011）=1,据裴蜀定理，存在正整数m,n,使a

11、m-201In=1①，于是当a为奇数时，则①中的m,n—奇一偶.如果加为偶数，乃为奇数，则将①改写成：a•（加+2011）—20II・S+q）=I,令m=加+2011”=n+a,上式成为ain-2011nf=1f其中m'为奇数,n为偶数.总之存在奇数加和偶数斤，使①式成立；据①，。加=2015+1……②，现进行这样的操作：选取一个点A,自A开始，按顺时针方向操作d个顶点，再顺时针方向操作接下来的。个顶点，……，当这样的操作进行加次后，据②知，点A的颜色被改变了奇数次（/?+1次），从而改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次（况次）状态，其颜色不

12、变；称这样的加次操作为轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此，可以经过冇限多轮这样的操作，使所冇黑点都变成白点，从而多边形所冇顶点都成为白色；也町以经过冇限多轮这样的操作，使所冇白点都变成黑点，从而多边形所冇顶点都成为黑色.（2°）、当d为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色.具体说来，我们将有如下结论：如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个口点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反Z,如果给定的正多边形开初冇奇数个白点、偶数个黑点，则经过冇限次操作，可以将多边形所有顶

13、点变成全白，而不能变成全黑；为此，采用赋值法：将白点改记为“+1”，而黑点记为“-1”，改变一次颜色，相当于将其赋值乘以-1,而改变d个