讲_数论的方法技巧

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1、第一讲数论的方法技巧（一）　　　数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。　　下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。一、利用整数的各种表示法例1红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？　　例题2、在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数，然后记下5

2、个，并把这五个加起来求出和N，只要把N告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数．现在设N=3194，请你做魔术师，求出数来．例3从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？　例4求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个约数。　4/4　　例5如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？　二、枚举法　　枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终

3、解决整个问题，运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。　　例6求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。　　　例7将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？　　例8有3张扑克牌，牌面数字都在10以内。把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人。每个

4、人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13，15，23。问：这3张牌的数字分别是多少？　　　4/4三、归纳法　　当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。例9将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：　　（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；　　（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；　　（3）划去这些两

5、位数中的合数；　　（4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；　　（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？例11有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？例12要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少

6、个砝码？这些砝码的重量分别是多少？4/4练习1　　1．已知某个四位数的十位数字减去1等于其个位数字，个位数字加2等于百位数字，这个四位数的数字反着顺序排列成的数与原数之和等于9878。试求这个四位数。　　3．设n是满足下列条件的最小自然数：它们是75的倍数且恰有75个　　4．不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？　　5．把1，2，3，4，…，999这999个数均匀排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划掉2，3，隔过4，划掉5，6……这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去。问：最后剩下哪个数？为什么？　　6．圆周上放有N枚棋子，

7、如右图所示，B点的一枚棋子紧邻A点的棋子。小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A。当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子。若N是14的倍数，则圆周上还有多少枚棋子？　　7．用0，1，2，3，4五个数字组成四位数，每个四位数中均没有重复数字（如1023，2341），求全体这样的四位数之和。　　8．有27个国家参加一次国际会议，每个国家有2名代表。求证：不可能将54位代表安排在一张圆桌的周围就座，使得任一国的2位代表之间都夹有9个人。4/4