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1、第5讲数论基础之因数倍数初步例1.自然数W有45个正因数，N的最小值为。解：45=1X45=3X15=5X9=3X3X5,若取45=3x15,则N的最小值是214x32,若取45=5X9,N的最小值是28x34,若取45=3X3X5,则N的最小值是24x32X52,这三种情况中,24x32X52=3600为最小。例2.1001的倍数中,共有个数恰有1001个因数。解:1001=7X11X13,若一个数恰好有2001个因数,它可以写成?X/?10Xc12,且这个数是1001的倍数，所以d、b、c分别为7、11和1
2、3,所以有A^=6个排列形式，所以一共有6个数。例3・现有三个互不相同的自然数，它们的和是315,这样的三个自然数的公因数屮，最人的可以是多少？解：设这三个数分别为a、b、c,它们的公因数为加,a=pXm,b=qXm,c=rXm,a+b+c=315,mX(p+^r+r)=315=32X5X7,又〃、q、1•互不相同,p+g+r>1+2+3=6,nJ以取p+g+r=7,此时m=45,如o=45,庆90,c=180o最大公因数是45.例4•若斤为小于50的自然数,求使亦5和7时6的值有大于1的公因数的所有n的值。解
3、：设代数式4/1+5和7卅6的公约数为k,贝I」⑷+5)=dXR,(7n+6)=bXk,其中a、b为正整数,为了作差后消去弘则左边的式子乘上7,右边的式子乘上4,则[7X(4n+5)-4X(7“+6)]=(7a-4城,所以(Ja-Ab)k=1,因为^1,11为质数，R只能为11,即两代数式大于1的公约数为11乂因为[2(4n+5)-(7n+6)]=(2a—b)XII,即n+4=(2a-b)X11｛说明：这里(4n+5)乘上2来作差是为了的系数变为1方便筛选｝所以卄4中一定有11这个因数，乂因为n<50,则n=
4、7,18,29,40o例5.已知两个口然数的和为54,其最小公倍数与最大公因数差为114,求这两个数。解：用列举法：一个数是24,另一个数是30；24+30=54,24、30的最小公倍数是120：24、30的最大公约数是6。解2：设最大公因数为加，两个白然数分别为6/加，bni,a、b、加为整数，am+bm=mX(a+/?)=54=2X27=3X18=6X9,若m=2,则a+b=27f最小公倍数为114+2=116=2x58,axfe=58,无整数解；若加=3,则a+*=18,最小公倍数为114+3=117=3
5、x39,axb=39,无整数解；若m=6,则a+b=9f最小公倍数为114+6=120=6x20,血=20,解得a=4,b=5,所以两个数为4X6=24,5X6=30时满足条件。例6.已知A+B=667,凶冈=120,求A、B的值。(A,B)解:设3=加方，其中m=(AtB),a,b互质,(A,B)X(a+方)=667=23X29,[A,B]=abm=20m,所以ab=120,120=23X3X5,若(A,B)=23,则a+b=29,解得a=5,&=24,所以A=115,3=552；或A=552,3=115。
6、若(A,B)=29,则a+b=23,解得g=8,Z?=15,所以A=232,3=435；或A=435,B=232°例7.设4共有9个不同的因数，B共有6个不同的因数，C共有8个不同的因数，这三个数中的任何两个部不整除，则这三个数之积的最小值是多少？解：A共有9个不同的因数,不妨设A=22X32=36,B共有6个不同的因数，且使得互不整除且尽可能小，可使B=22X5=20,C共有8个不同的因数，也要满足条件，则02X3X5=30,这样4X3X036X20X30=21600.例&自然数4除木身以外最大的因数是也自然
7、数A+2除本身以外最大的因数是d+2,那么A的值是。a4+2解：如果A是偶数，d=_,6/+2=——，矛盾.22所以A是奇数，A和A+2互质，d和〃+2互质.若A不是质数，设A=md,m是A最小的质因数，贝ll：d+21md+2/.J+21md+2m+2-2m・・・d+2
8、2〃—2・・・d+2
9、加一1与加是A最小的质因数矛盾是质数J=1,J+2=3・・・d+2是A+2除本身以外的最大约数・・・A+2=9:.A=7随堂测试1.冇一个自然数，它的个位是零，并JL它冇8个因数，这个绘小的自然数可能是。解：若8=2X4
10、,最小的数为23Xr/,由于个位为0,所以取q=5,这个自然数是40。又8=2x2x2,最小的数可以是2x3x5=30,所以最小的自然数是30.1.2015的倍数中,共有个数恰好有2015个因数。解：2015=5X13X31,2015的倍数可以写成5“><13“><3广,它的因数的个数为(d+l)X@+l)X(c+l),要使(a+l)X(b+l)X(c+l)=2015,令@+1)、(卄
