2018年秋高中数学 课时分层作业19 函数的最大（小）值与导数 新人教A版选修1 -1

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1、课时分层作业(十九)函数的最大（小）值与导数(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f(x)＝x＋cosx在[0，π]上的(　　)A．最小值为0，最大值为B．最小值为0，最大值为＋1C．最小值为1，最大值为D．最小值为1，最大值为π－1D　[f′(x)＝1－sinx，由x∈[0，π]知，f′(x)≥0，即f(x)在[0，π]上是增函数，所以f(x)max＝f(π)＝π－1，f(x)min＝f(0)＝1.]2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a等于(　　)A．3　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．－1B

2、　[f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－(舍)．由f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2知f(x)max＝f(2)＝a＋2＝3，解得a＝1.]3．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为(　　)A．1B．4C．－1D．0B　[∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2＞0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4.]4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内

3、有最小值，则a的取值范围为(　　)【导学号：97792164】A．0≤a＜1B．0＜a＜1C．－1＜a＜1D．0＜a＜B　[∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0得x2＝a.∴x＝±.又∵f(x)在(0,1)内有最小值，∴0＜＜1，∴0＜a＜1.故选B.]5．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是(　　)A．m≥B．m>C．m≤D．m

4、得f(x)≥－9恒成立，即3m－≥－9，∴m≥.]二、填空题6．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的值域为__________．[0，e]　[f′(x)＝，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍)．又f(－1)＝e，f(0)＝0，f(1)＝，则f(x)max＝f(－1)＝e，f(x)min＝f(0)＝0，因此函数f(x)的值域为[0，e]．]7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．(－4，－2)　[f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0得，x＝.由题意知－2<<－1，∴

5、－40)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为__________．－1　[f′(x)＝(a>0)，令f′(x)＝0得x＝或x＝－(舍)．当01时，x∈[1，)时，f′(x)>0，x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，则当x＝时，f(x)有最大值，即f(x)max＝f()＝＝，解得a＝不合题意．综上知，a＝－1.]三、解答题9．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝

6、f(x)＋f′(x)是奇函数.【导学号：97792165】(1)求f(x)的表达式．(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．[解]　(1)因为f′(x)＝3ax2＋2x＋b，所以g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0.解得x1＝－(舍去)，x2＝，而g(1)＝，g()＝，g(2)＝

7、，因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.10．已知函数f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2＜f(x0)＜2－2.[解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．设g(x)＝ax－a－lnx，则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0.因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，而g′(x)＝a－，g′(1)＝a－1，得a＝1.若a＝1，则g′(x)＝1－.当01时，g′(x)>

8、0，g(x)单调递增．所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.综上，a＝1.