2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程学案 新人教A版选修2-1

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1、2.1　曲线与方程2.1.1　曲线与方程2.1.2　求曲线的方程学习目标：1.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系.2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)[自主预习·探新知]1．曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．思考：(1)如果曲

2、线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？[提示]　(1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆．(2)充要条件是f(x0，y0)＝0.2．求曲线方程的步骤[基础自测]1．思考辨析(1)若点P的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点P在方程f(x，y)＝0的曲线上．(　　)(2)单位圆上的点的坐标是方程x2＋y2＝1的解．(　　)(3)方程y＝与方程y＝(x>0)是同一条曲线

3、的方程．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)(　　)A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上B　[将点M的坐标代入直线l，曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上．]3．到两坐标轴距离之和为4的点M的轨迹方程为(　　)【导学号：46342051】A．x＋y＝4　　　　B．x－y＝4C．

4、x＋y

5、＝4D．

6、x

7、＋

8、y

9、＝4D　[点M(x，y)到两坐标轴的距离分别为

10、x

11、

12、和

13、y

14、，故选D.][合作探究·攻重难]曲线与方程的概念　(1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是(　　)A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程

15、x

16、＝2之间的关系；②到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；③第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[解析]　(1

17、)根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错．[答案]　(1)B(2)①过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程

18、x

19、＝2的解，但以方程

20、x

21、＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此

22、x

23、＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．②到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.③第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标

24、的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.[规律方法]　1.解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．[跟踪训练]1．(1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么(　　)【导学号：46342052】A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上C．不在曲线C上的

25、点的坐标必不适合f(x，y)＝0D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0C　[根据曲线的方程的定义知，选C．](2)已知方程x2＋(y－1)2＝10.①判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；②若点M在此方程表示的曲线上，求实数m的值．[解]　①因为12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．②因为点M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，所以x

26、＝，y＝－m适合方程x2＋(y－1)2＝10，即＋(－m－1)2＝10.解得m＝2或m＝－.故实数m的值为2或－.用直接法(定义法)求曲线方程[探究问题]1．求曲线