高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程学案（含解析）新人教a版选修2-1

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1、2.1　曲线与方程1.了解曲线方程的历史背景，理解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的具体方法。重难点：曲线与方程的对应关系，求曲线方程的方法。方法：合作探究一新知导学1．回顾直线方程：圆的方程：2.一般的，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作或适合某种条件的）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）（2）。那么，这个方程叫做，这条曲线叫做。3.数学中，用研究几何图像的知识形成的学科叫做。解析几何研究的主要问题是（1）（2）。二例题研讨例一：证明与两条坐标轴的距离之积是常数k（k>0）的点的轨迹方程是跟踪练习1：已知等腰三角形三个顶点

2、的坐标分别是A（0,3）B（-2,0）C（2,0），中线AO（O为原点）所在直线的方程是x=0吗？例二：设A，B两点的坐标分别是（-1，-1），（3,7）求线段AB的垂直平分线的方程。课堂随笔:跟踪练习2求和点O（0,0），A（c，0）距离的平方差为常数c的点的轨迹方程。例三：已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2，一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。跟踪练习3：两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程。三牛刀小试：1.已知方程

3、的曲线经过点A（0，）和点B（1,1），求a，b的值。2．方程(2x－y＋2)·＝0表示的曲线是(　　)A．一个点与一条直线B．两条射线和一个圆C．两个点D．两个点或一条直线或一个圆3．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条直线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k等于(　　)A．±3　　　　　B．0C．±2D.一切实数4．在直角坐标系中，方程

4、x

5、·y＝1的曲线是(　　)5．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是(　　)A．方程f(x，y)＝0的曲线是C。B．方程f(x，y)＝0是曲

6、线C的方程C．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CD．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上四.课后作业：1．已知A(－2,0)、B(2,0)，△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是(　　)A．一个点B．两个点C．一条直线D．两条直线2．动点在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是(　　)A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(x＋)2＋y2＝13．方程y＝所表示的图形是__________________．4．给出下列结论：①方程＝1表示斜率为1，在y轴

7、上的截距为－2的直线；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．正确的结论的序号是__________________．三、解答题5．画出方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线．后记与感悟:6.设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．牛刀小试答案：1.b=18/25a=32/252.解析]　原方程等价于x2＋y2－1＝0，或，故选B.3.[解析]　两直线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.4.[解析]　

8、由

9、x

10、·y＝1知y>0，曲线位于x轴上方，故选C.5.[解析]　不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、B、D错误．课后作业解析：1.[解析]　设顶点C到边AB的距离为d，则×4×d＝10，∴d＝5.∴顶点C到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线y＝－5和y＝5.2.[解析]　设P点为(x，y)，曲线上对应点为(x1，y1)，则有＝x，＝y.∴x1＝2x－3，y1＝2y.∵(x1，y1)在曲线x2＋

11、y2＝1上，∴x＋y＝1，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1即(2x－3)2＋4y2＝1.3.[解析]　原方程等价于y＝

12、x－1

13、⇔x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)．4.[答案]　③解答题答案：5.[解析]　方程(x＋y－1)＝0可等价变形为或x－y－2＝0.由得∴表示射线x＋y－1＝0(x≥)．∴原方程表示射线x＋y－1＝0(x≥)和直线x－y－2＝0，如下图所示．6.[解析]　设所作弦的中点为P(x，y)，连接CP，则CP⊥OP，

14、OC

15、＝1，OC的中点M(，0)，∴动点P的轨迹是以点M为圆心，以OC为直径的圆，∴轨迹方程为(

16、x－)2＋y2＝.∵点P不能与点O重合，∴0