2018年秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性 第2课时 奇偶性的应用学案 新人教A版必修1

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1、第2课时　奇偶性的应用学习目标：1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．[合作探究·攻重难]用奇偶性求解析式　(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式.【导学号：37102167】思路探究：(1)(2)[解]　(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时，f(x)＝－x－1.又x＝0时

2、，f(0)＝0，所以f(x)＝(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．由f(x)＋g(x)＝，①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，②(①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝.母题探究：1.把本例(1)的条件“奇函数”改为“偶函数”，当“x>0”改为“x≥0”，再求f(x)的解析式．[解]　设x≤0，则－x≥0，则f(－x)＝x＋1.又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝x＋1.故f(x)的解析式为f(x)＝2．把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g

3、(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．[解]　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，即f(x)－g(x)＝.②联立①②得f(x)＝，g(x)＝.[规律方法]　利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0

4、.函数单调性和奇偶性的综合问题[探究问题]1．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3

5、)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则

6、a

7、<

8、b

9、.角度一　比较大小问题　函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)【导学号：37102168】A．f(1)

10、单调区间上.①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.[跟踪训练]1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)A　[由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其

11、函数值越小，∵

12、－2

13、＜

14、－3

15、＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.]角度二　解不等式问题　已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．(－1,3)　[∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)，又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(

16、x－1

17、)>f(2)，∴

18、x－1

19、<2，∴－2