2018-2019学年高中数学 课时分层作业9 双曲线的几何性质 苏教版必修4

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1、课时分层作业(九)　双曲线的几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．[解析]　由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝，a＝1，则b2＝c2－a2＝1，所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.[答案]　x2－y2＝12．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为________．[解析]　e＝＝，当＝时，e＝；当＝时，e＝.[答案]　或3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为________.【导学号：7139208

2、5】[解析]　方程可化为y2－＝1.由条件知2＝2×2，解得m＝－.[答案]　－4．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．[解析]　由2a＋2c＝4b，得a＋c＝2b＝2，即a2＋2ac＋c2＝4c2－4a2，得5a2＋2ac－3c2＝0，(5a－3c)·(a＋c)＝0，即5a＝3c，e＝＝.[答案]　5．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．[解析]　双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x轴

3、上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，则双曲线的标准方程是－＝1.[答案]　－＝16．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．[解析]　由题意知e1＝，e2＝，∴e1·e2＝·＝＝.又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2，∴＝＝1－，即1－＝，解得＝±，∴＝.令－＝0，解得bx±ay＝0，∴x±y＝0.[答案]　x±y＝07．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于

4、________．[解析]　双曲线的一条渐近线方程为－＝0，即bx－ay＝0，焦点(c,0)到该渐近线的距离为＝＝，故b＝，结合＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，则双曲线C的焦距为2c＝4.[答案]　48．y＝kx＋2与双曲线－＝1右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是________.【导学号：71392086】[解析]　由消去y得(1－4k2)x2－16kx－25＝0，∴∴－

5、焦点在x轴上，则由渐近线方程y＝3x得＝3，∴b＝3a.故可设双曲线的标准方程为－＝1，又双曲线过点P(3，－1)，∴－＝1，解得a2＝，∴b2＝80，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.②若双曲线的焦点在y轴上，则由渐近线方程y＝3x得＝3，∴a＝3b.故可设双曲线的标准方程为－＝1.∵点P(3，－1)在双曲线上，∴－＝1，解得9b2＝－80，不合题意．综上所述，所求双曲线的标准方程是－＝1.法二：∵双曲线的一条渐近线与直线3x－y＝2平行．∴可设双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P(3，－1)，∴λ＝9×32－(－1)2＝80，∴双

6、曲线方程为9x2－y2＝80，即－＝1.10．若双曲线x2－y2＝1的左支上有一点P(a，b)到直线y＝x的距离为，求点P的坐标.【导学号：71392087】[解]　因为点P(a，b)到直线y＝x的距离为，由点到直线的距离公式得＝，即

7、a－b

8、＝2①，又点P(a，b)在双曲线x2－y2＝1左支上，所以a＜0且a2－b2＝1②，由①②联立，解得或(舍)，所以点P的坐标为.[能力提升练]1．如图232，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以

9、OF1

10、的长为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形

11、，则双曲线的离心率为________．图232[解析]　连接AF1(图略)，∵

12、F1F2

13、＝2c，且△AF2B为等边三角形，又

14、OF1

15、＝

16、OA

17、＝

18、OF2

19、，∴△AF1F2为直角三角形，又∵∠AF2F1＝×60°＝30°，∴

20、AF2

21、＝c，

22、AF1

23、＝c.由双曲线的定义知c－c＝2a，∴e＝＝＝＋1.[答案]　＋12．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为________．[解析]　由直线方程x＝a和渐近线方程y＝x联立解得A(a，b)

24、．由以C的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O，可得c＝4，即右焦点F(4,0)．由该圆过A点，可得

25、FA

26、2