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《(浙江专版)2018-2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程学案 新人教A版选修2-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2.1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法.知识点一 曲线的方程和方程的曲线的概念在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.知识点二 坐标法思想及求曲线方程的步骤思考 曲线C上的点的坐标都
2、是方程f(x,y)=0的解,能否说f(x,y)=0是曲线C的方程?试举例说明.答案 不能.还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心,以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2+y2=4”,曲线上的点都满足方程,但曲线的方程不是x2+y2=4.梳理 (1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念,是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x,y)=0的解集之间是一一对应的关系,曲线的性质可以反映在它的方程上,方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程;条件②说明适合方程的点都在曲线上而
3、毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系,通过曲线上的点与实数对(x,y)建立了一一对应关系,使方程成为曲线的代数表示,通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.(3)求曲线的方程的步骤如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x,y)=0,则(1)曲线l的方程是F(x,y)=0.(×)(2)方程F(x,y)=0的曲线是l.(×)(3)坐标不满足方程F(x,y)=0的点不在曲线l上.(√)(4)坐标满足方程F(x,y)=0的点在曲线l上.(×)类型一 曲线的方程与方程的曲线解读例1 (1)设方程f(x,y)=0的解集非空,若命题“坐标满足方程f(x,y)=0的
4、点都在曲线C上”是假命题,则下列命题为真命题的是( )A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标不满足f(x,y)=0C.坐标满足f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0(2)“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用答案 (1)D (2)B解析 (1)命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线
5、C上”为假命题,则命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是真命题.故选D.(2)由曲线C的方程是f(x,y)=0,得以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点,但反过来不成立,故选B.反思与感悟 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性.(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.跟踪训练1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系:(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程
6、x
7、=2之间的关系;(2)与两坐标轴
8、的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系;(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系.考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程
9、x
10、=2的解,但以方程
11、x
12、=2的解为坐标的点不都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此,
13、x
14、=2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5,但以方程xy=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此,与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=5.(3)第
15、二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x+y=0;反之,以方程x+y=0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上.因此,第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0.类型二 曲线与方程的应用例2 已知方程x2+(y-1)2=10.(1)判断点P(1,-2),Q(,3)是否在上述方程表示的曲线上;(2)若点M在上述方程表示的曲线上,求m的值.考点 曲线与方程的概念题点 点在曲线上的应用解 (1)∵12+(-2-1)2=10,()2+(3-1)2=6≠10,∴点P(1,-2)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上,点Q(,3)不在
16、方程x2+
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