（浙江专版）2018-2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程学案 新人教A版选修2-1

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1、§2.1　曲线与方程学习目标　1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法．知识点一　曲线的方程和方程的曲线的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．知识点二　坐标法思想及求曲线方程的步骤思考　曲线C上的点的坐标都

2、是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．答案　不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.梳理　(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而

3、毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．(3)求曲线的方程的步骤如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则(1)曲线l的方程是F(x，y)＝0.(×)(2)方程F(x，y)＝0的曲线是l.(×)(3)坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．(√)(4)坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．(×)类型一　曲线的方程与方程的曲线解读例1　(1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的

4、点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是(　　)A．坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0C．坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点　曲线与方程的概念题点　点在曲线上的应用答案　(1)D　(2)B解析　(1)命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线

5、C上”为假命题，则命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是真命题．故选D.(2)由曲线C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.反思与感悟　(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性．(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪训练1　分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程

6、x

7、＝2之间的关系；(2)与两坐标轴

8、的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．考点　曲线与方程的概念题点　点在曲线上的应用解　(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程

9、x

10、＝2的解，但以方程

11、x

12、＝2的解为坐标的点不都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，

13、x

14、＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第

15、二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.类型二　曲线与方程的应用例2　已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在上述方程表示的曲线上；(2)若点M在上述方程表示的曲线上，求m的值．考点　曲线与方程的概念题点　点在曲线上的应用解　(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(，3)不在

16、方程x2＋