用迭代法速解高考压轴题

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1、高三数学专题讲座巧用迭代法速解高考压轴题高考是以知识为载体，方法为依托，能力为目标来进行考查的，命题时则是以能力为立意，以方法和知识为素材来进行命题设计的。纵观这两年全国高考的新课程试卷中的压轴题—数列问题，背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活，又由于新课程的改革中淡化了数学归纳法，无疑地迭代法成为解决这类问题的通法。1．an+1=pan+q(p、q为非零常数)型此类型的通项公式求法通常有两种迭代思路：一是构造新数列使其成等比数列，设原递推关系化为an+1+=p(an+)，其中为待定系数，于是有p－=q，即=，这样数列即为等比数列。二是an=pan－1+q=p(pan－2+q

2、)+q=p2an－2+pq+q=p2(pan－3+q)+pq+q=p3an－3+p2q+pq+q=……=pn－1a1+pn－2q+……+pq+q，它的实质下标递降，直至退到不同再退为止。例1．设a>0如图，已知直线:y=ax及曲线C:y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1(0

3、，建立an+1与an的递推关系，将n换成n－1，即为迭代，反复利用这种迭代的方法即可求出an。解：由点Qn在曲线C上，所以Qn的纵坐标为an2，即Qn(an，a)。又由于Qn与Pn+1的纵坐标相等，所以，Pn+1的纵坐标为a。而点Pn+1在直线上，所以Pn+1的横坐标为，即Pn+1（）。又因为Pn+1与Qn+1的横坐标相同，所以an+1=即为an+1与an的递推关系。下用迭代法求数列的通项公式。迭代法一（构造新数列迭代）：对an+1=两边同时取对数得：lgan+1=2lgan－lga，所以lgan+1－lga=2(lgan－lga)，反复迭代得：lgan－lga=(lgan－1－lga)=

4、2·2(lgan－2－lga)=22(lgan－2－lga)=……=2n－1(lga1－lga)=lg()2，所以lg=lg()2，即an=a·()2。迭代法二（直接变形迭代）：∵an+1=，∴6∴==[（）2]=()=……=.∴an+1=a·()2，即an=a·()2.[解题回顾]解决本小题的关键有两步，一是灵活运用Pn+1与Qn、Qn+1间的纵横坐标间的关系正确而迅速建立an+1与an的关系式；二是巧妙运用待定系数法或同除以a对递推关系进行变形，使递推关系进一步具体化、特征化，然后再反复迭代。实质上，等差等比数列的通项公式就是利用这种迭代法而推导出来的。迭代法二是变形成结构相同的式，然

5、后进行下标递降；迭代法一也先是对递推关系式变形，化成an+1=pan+q这种形式，利用待定系数法求解，也可以在此基础上直接迭代，如lgan=2lgan－1－lga=22lgan－2－2·lga－lga=……=2n－1lga1－(2n－2+2n－3+……+2+1)lga=2n－1lga1－(2n－1－1)lga，所以an==a·。从高考阅卷中可以看出，不少学生得出递推关系式后，望而却步，这足以说明学生在数学思想方法上没有受到良好的训练，平时的学习都是被动的接受，而很少有主动建构的过程。2．an+1=pan+f(n)（p为常数，p≠1，p≠0）型。此类型的通项公式求法常见有两种迭代方法：一是

6、构造新数列代，即an+1－g(n+1)=p[an－g(n)],比较系数有：g(n+1)－pg(n)=f(n)对一切n∈N+都成立，求出，则数列是等比数列；二是下标递降迭代，即an→an－1→an－2→…→a2→a1.也就是an=pan－1+f(n－1)=p[pan－2+f(n－2)]+f(n－1)=P2an－2+Pf(n－2)+f(n－1)=P3an－3+P2f(n－3)+Pf(n－2)+f(n－1)=…=Pn－1a1+Pn－2f(1)+…+Pf(n－2)+f(n－1)，再利用求和法求出an。例2．设a0为常数，且an=3n－1－2an－1·(n∈N+)。（I）证明对任意n≥1，an=;（

7、II）假设对任意n≥1有an＞an－1，求a0的取值范围。分析：本题的递推关系式中3n－1是一个变量，于是我们在利用待定系数法构造新数列时要注意与类型1的区别，思路一可以设an+1－·3n=－2（an－·3n－1），由比较系数得的值，再迭代；思路二对递推关系进行等价变形，即两边同除以3n转化为类型1的问题求解；思路三直接利用关系式迭代转化为求和问题。解：（I）迭代法一（构造等比数列迭代）∵an=3n－1－2an－1,∴=