用三种知识层次解09广东高考数学压轴题

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1、用三种知识层次解09广东高考数学压轴题10中学数学研究2009年第8期用三种知识层次解O9广东高考数学压轴题华南师范大学附属中学(510630)罗碎海o9高考结束,广东高考考生的数学平均分达不到考试前专家对考试卷的预期分数.到底是专家出的题难度太大,还是中学数学教学存在误区?我们就09广东高考数学得分不高的压轴题给出三种方法,分析用到了那些知识,方法?难度在什么地方?教学中的问题在哪里?希望能给目前的中学数学教学有所启示.(O9广东高考数学理21)已知曲线CiX一2nx+Y=0(n:1,2,…).从点P(一l,0)向曲线C引斜率为k(k>0)的切线Z,切点为P(,Y).(1)求数列

2、{}与{Y}的通项公式;(2)证明:.</<Gi～Xn42<√<"方法一:标准答案(有所修改,主要应用局二,高三知识解答)(1)解:曲线C:一2nx+Y=0(n=1,2,…)为二次曲线,切线l的方程为Y=(+1),联立f=n+,消去y整理,得(1+:)+L'一2nx十厂=0(2k:一2n)x+k::0,①.A=(2k:一2n)一4k2o(1+k:):4n一4(2n+1)k:,k>0.?.'直线与二次曲线相切§△=o,解得:=,k:1此时,方程①化为(1+2-n/+2n++l(一2n)+=0.整理,得[(n+)—n]=0,解得=,所以y=(+)???数列}

3、的通项公式为=,数列{Y}的通项公式为n十lY:,,n,/HL,.'篱=/工.:(2n-.<一21)2(2n-1)z2n+1'2n4n4n一1√{{..?,?X5"~"X2n_1:1×3×5×…√丽一'?-3.××"2n一1

4、1

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7、2n一1×—<√×√×√了×…×√『T%/~nn1=~l--Xn.?.'Xrt1==√1,+1一..y一,+'又0<≤1<.令=,No14Y<<√2n+03n孕,要证明一Xn<inXr,,只需证明当0<<手时,4YY斗<4~-sinx恒成立即可.设函数)=—dYsinx,0<<仃/4

8、.贝0()=1一√乏_cOSX,0<<7"r/4.?.?在区间(0,7r/4)上厂()=1一,~-cosx为增函数,.?.当0<<7r/4时()=1—4~cosx<1一,/~eosTr/4=0'...)=一,/in在区间(0,7"r/4)上为单调递减函数'...-厂()=一√i眦<0)=0对于一切0<<仃/4很成立,.?.<√inx,即/萼:<inXn.综上,得.,.:l+YY<~fl…-x.<in.方法二:(应用大学微积分知识解答)(有些考生一看到切线斜率就想到求导数,本题不是函数,要微分)(1)解:对曲线C:一2

9、nx+Y=0(n=1,2,…)求微分2一2n+2ydy=o,==,切线z的方程为y=(+1),即yn-x(+1),且口+Y=(n一1)+n,联立方程yn-一1)2…,解==【一凡+y2=0…'凡+1一.以y:22=//,1一=十(凡+IJ—2009年第8期中学数学研究.?.…=n一:>o,而已而..?一刈,『n1巳知>0,所以Y>0,即),>0√.),=),=.?.数列xn}的通项公式为:,数列{),}的通项公式为.=丽(2)的解答同方法一.方法三:(应用高一知识就可以解答)(1)解:曲线C:一2nx+Y=0(n=1,2,…)可化为(—n)+Y=n,所以,它表示以

10、C(凡,0)为圆心,以n为半径的圆,切线l的方程为Y=(+1),由直线与圆相切甘圆心到直线距离等于圆半径.d:皇:凡,又>0,...:√+1J2n1此时切线方程为),志J2n1(+1)?联++立』y—寿+¨,消去y整理,得[(n+1)【2—2n+y2:0一]:0,===y='J2n+1....数列{}的通项公式为=,数n十l列{y}的通项公式为),=Tf2)证明:先证不等式芹端.?X5"~"X2n_l=1×3x5×…×,P…)rh—l:d一-3'×x一×,等式为:虿1×3×5一?×<令A=丢×÷×詈×…×,B=××等An×××'一×,n了×××…×,A×B:.?.'吉<

11、,寻<,<争,…,<,.?.A<B一..,<,…,<丽,.'<…:A×A<A×=.即×寻×詈×…×2n-1<√.不等式左边得证.再证不等式右端.:__=一:/,又o<—一Y,1+,≤1<.令=,则o<<,要证明Xn<√in,只需证明当0<<77时,<√inx恒成Yn斗立即可.?.'当0<<77-时,sinx<<