利用高等数学知识观点简解高考压轴题

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1、第34卷第l1期2015年11月数学教学研究利用高等数学知识观点简解高考压轴题杨瑞强(湖北省黄石市第一中学435000)随着高中数学新课程先后引进了微积再令分、坐标变换等选修知识之后，初等数学知识

2、ll(z)一(。+1)In—z。+1与高等数学知识的联系越来越紧密，致使一(>O，z≠1)，则些高考数学试题或以高等数学知识为背景，h()-2xln+一，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法．由于高考的选拔功能，参与高考命题()=21nx~-l-，的专家也越来越重视初、高等数学知识在此处的衔接，这类题往往倍受命题者青睐．近年易知fl(X)=21nx+l

3、一去在(o，+。。)上为来的考题中，出现了不少背景新、设问巧的高增函数，且(1)一0．故当X∈(O，1)时，观点题，成为高考题中一道亮丽的风景．下面(x)G0，当∈(1，+∞)时，(z)>0．以近年来出现的高考试题为例，阐述利用高所以h)在(O，1)上为减函数，在(1，等数学知识的观点简解几类高考压轴题的方+。。)上为增函数，故h()>^(1)一0，法．^(z)在(O，+。。)上为增函数，又因为(1)一1利用洛必达法则。处理恒成立问题0，所以例1(2011年全国新课标理科第21当∈(O，1)时，h(z)GO，当∈(1，题)已知函数，曲线一厂()在点(1，

4、厂(1))+。o)时，(z)>0；处的切线方程为X+2一3一O．当∈(0，1)时，g()G0，当∈(1，(I)求a，b的值；+。o)时，g)>O．(Ⅱ)如果当z>0，且≠1时，(z)>于是g()在(O，1)上为减函数，在(1，+，求是的取值范围．+。o)上为增函数．解(I)a-1，b_-1．由洛必达法则知(Ⅱ)由题设可得，当z>O，z≠1时，忌o，≠1)，则=2X(一．熹_)+1=0．g)一2．，所以走≤O，即是的取值范围为(一。。，O]．收稿日期：2015-0

5、6-17作者简介：杨瑞强(1979一)，男。湖北黄冈人，中学一级教师，黄石市优秀班主任，主要从事数学教育与中学教学研究．E-mail：yrq2003@163．com数学教学研究第34卷第11期2015年1^1月评析对恒成立问题中的求参数取值范<<围的问题，首先考虑采用参变分离法，但有些题中的求分离出来的函数式的最值不容易，此时若利用洛必达法则可以较好的处理它的瓤)<∑125)最值，是一种值得借鉴的方法．2利用定积分。简证(解)数列不等式<曼(z)，例2(2013年湖北理科第22题)设令r一吉，则g()=z{，其中125g()一s．是正整数，r为正有理数．

6、(I)求函数厂()一(1+)斗一(r+1)而根据定积分的性质有：125一1(>-1)的最小值；jt'n)dx1)∞(Ⅱ)证明：l二

7、6{~-631．7)得到Es-I一211．解(I)函数厂()在x-0处取得最小例3(2014年陕西理科第21题)设函值，(o)===o．数，()一ln(1+z)，g(z)一)，≥0，(Ⅱ)设g()一，>0，r为正有理数，其中／()是，(z)的导函数．则g()rxr->O，从而g()在(O，+∞)(Dgl()一g(z)，g1(z)一g((z))，上是增函数．∈N，求()的表达式；由定积分的概念知，(Ⅱ)若，(z)≥ag(x)恒成立，求实数nI，g(x)dx

8、x)dx—Jdx一I+g(，2)与扎一，(71)的大小，并加以证明．一(一1)解(I)()一l_(，z∈N+)；干1——’(11)实数口的取值范围是(一0o，1]；jr"1g(x)dx—JJrH1dx一，rl+1上l(II1)由于(7z+1)一，2件g(1)+g(2)+⋯+g(竹)一一——干T一’二‘1十1+．．．+)一n，nH-一(一1)即r+1一厂()一竹一ln(n+1)，第34卷第11期2015年l1月数学教学研究35问题转化为比较1+丢+÷+⋯+与11+十⋯+In(1+71)的大小．我们猜想：11+十⋯+>JI0X南十l

9、出从而—一如g(1)+g(2)+⋯+g(咒)>一厂(咒)．下面我们介绍两种方法证