步尚全+泛函分析基础习题答案提示

《步尚全+泛函分析基础习题答案提示》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、泛函分析基础第四章赋范空间中的基本定理1.设是赋范空间上的次线性泛函，满足，且在处连续。求证：是连续映射。证明：由在0处连续，且满足可得：使得满足的都有。从而满足则任取令，且满足，由是的次线性泛函可以得到：即注意到从而即得到即在处连续，由的任意性可知，处处连续，为连续映射。2.设为线性空间，使得任取，有求证：是上的半范数证明：，则由条件得到。由是线性空间，其中存在零元和负元。任取则有：即从而得证半范数的三个条件。即上的半范数。3.设固定，考虑的线性子空间及上的线性泛函。求出所有到上的线性6泛函分析基础延拓及其相应的线性泛函的范数。解：由线性我们自然

2、想到，对于应该为线性的。由Hahn-banach定理可知：。并且对于形如的线性泛函满足题目的要求。其范数为：1.设为赋范空间，为的线性子空间，。求证：当且仅当都有证明：：，由于故。为连续映射则从而：假设对于，都有的情况下则注意到：是的闭线性子空间，是的真子集。令则由定理4.1.7：使得，又条件都有矛盾！从而假设不成立，2.设为可分赋范空间，求证：存在单位球面的可数子集，使得任取，有。证明：为可分赋范空间存在至多可数的稠密子集。令稠密子集为设则，6泛函分析基础。1.设为赋范空间，求证：为的闭线性子空间证明：：是上的有界线性算子，且为赋范空间根据推论2

3、.4.1，是的闭线性子空间。：是的闭线性子空间。若，则显然。若对于，并且是的闭集，是的闭线性子空间，即也为闭集。从而由定理1.2.6得：是连续映射。再根据定理2.4.4：为赋范空间，即为线性的故有是连续映射是上的有界线性算子。从而得证2.设为赋范空间，为的非空子集。求证：若则。证明：事实上由Hahn-Banach定理4.1.4可知：有则有则有则。另证：假设，即。即。另一方面，由于，则。从而对。注意到：所以即这与假设矛盾！结论得证。3.设为赋范空间，为的线性子空间。，求证：证明：为的线性子空间为线性空间6泛函分析基础。令定义其中显然有，。即从而。由H

4、ahn-Banach定理：1.考虑的线性子空间。求证：任取在中无最佳逼近元。2.设为赋范空间，为的线性子空间，令。若为的闭线性子空间，且。求证：。3.设赋范空间中包含个线性无关的元素，求证：也包含至少个线性无关的元素。4.设为赋范空间的非空子集，求证：在中为完全集在上恒为0的在上也恒为0.5.设为赋范空间，为其共轭算子。求证：。6.设为度量空间。求证：为无处稠密子集当且仅当为的稠密子集。7.证明：非空完备度量空间的第一范畴子集的余集必为第二范畴子集。8.设为赋范空间中的一列元，任给，都是纯量有界列。求证：为有界列。9.设为Banach空间，为赋范空

5、间，为一列有界线性算子，6泛函分析基础设任取，都是中的柯西列，求证：存在常数，使得任取，。1.在上题中又设为Banach空间，求证：存在，使得任取，，且。2.设为Banach空间，为赋范空间，为一列有界线性算子。证明下述命题相互等价：存在,;任取，为中的有界列；任取为纯量有界列。3.设为赋范空间，，弱收敛到。求证：。4.设为赋范空间，，弱收敛到。求证：为的线性组合，使得。5.设，弱收敛到。求证：点点收敛到。即任取，有6.设为赋范空间。，，弱收敛到。求证：弱收敛到。7.设为赋范空间，，，假设弱收敛到，弱收敛到，。求证：弱收敛到，弱收敛到。8.设为可分

6、Banach空间，为有界集。证明：中任意序列均有子列弱星收敛到中某元。9.设为赋范空间，为闭线性算子，求证：为的闭线性子空间；6泛函分析基础若为一一映射，则也为闭线性算子。将的紧集映射到的闭集。中的紧集通过的逆象为的闭集。1.设为Hilbert空间，为线性算子，满足，求证：2.设为Banach空间，为的闭线性子空间。假设任取，存在唯一的，使得。求证：存在，使得，，，3.设为赋范空间，为线性算子。求证：为闭算子当且仅当任取，，都有。6