泛函分析习题答案（精荐）

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1、第二章度量空间作业题答案提示试问在R上,p(x,y)=(x-y)2能定义度量吗?答：不能，因为三角不等式不成立。如取贝I」有p(x,y)=4,而p(x,z)=l,p(z,x)=l2、试证明：(1)p(x,y)=

2、x-沖;⑵p(x,y)二_LIX在/?上都定义了度量。证：(1)仅证明三角不等式。注意到(2)兀一),<+z-y<2+z—y2Z-沖故有卜-沖＜

3、x-zp+仅证明三角不等式易证函数心)二总在疋上是单调增加的,0(

4、。+切)“(问+问),a+b<1+a+b1+a1+问-X令V兀,w心令Q”b=y-z<•+1+1+1+y-z4•试证明在C*“

5、］上，。（兀,y）=『卜⑴-），⑴皿（2.3」2）定义了度量。证：(1)p(x,y)=0<=>

6、x(r)-y(r)

7、=0(因为x,y是连续函数)X?(x,y)>0及p(兀,y)=p(y,x)显然成立。(2)p(x,y)=£

8、x(0一y(t)dt5口兀(/)一賓咖『+宙)一曲)

9、畅5fk(/)-z(/)

10、d/+-y(t)dtSO,z)+p(z,y)5•试由Cauchy-Schwarz不等式证明证:8•试证明下列各式都在度量空间（心和（KA）的Descartes积/?=尺込上定义了度量(1)。=勺+°2；(2)Q=(q：+材A"；(3)0=max{/

11、?],p2}证：仅证三角不等式。（1）略。(2)设x=(xpx2),y=(牙,旳)w/?]x/?2，则0(兀,y)=[Pl2(兀1，X)+pl(兀2，儿)]2_^{[Qi（兀1，召）+川勺,必）丁+[°；（兀2皿2）+°上2，儿）丁『丄_s[pj（兀],勺）+川召,开）]2+国（兀2山2）+加（22，力）]2i=l7?、/=!(3)p(x,y)=max{p,(xvy})9p2(x29y2)}WmaxS(西,Z

12、)+Q(z1,y1),p2(x2,^2)+p2(x2,z2)}5max[°i(%!,Z])+Qi(Z],%)]+max[p2(x2,z2

13、)+p2(x2,z2)]=0(x,z)+0(z,y)9、试问在C[a,切上的Bg;l）是什么?C[a,b]±图像以勺为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集合。10、试考虑C[0,2”]并确定使得yeB（x,r）的最小r,其中x=sint,y=cosr。q(x,y)=sup

14、sinr-cosr=sup>/2sin(r-—)=V2/e[O,2^JzelO.2^J11・试证明在离散度量空间屮，每个子集既是开的乂是闭的。设A是离散度量空间X的任一子集。VawA,开球B（a,丄）=｛d｝uA,故4事开集。2同样道理，知"是开的，故A=（AC）C又是闭集。12・

15、设是MuR的聚点，试证明X。的任何邻域都含有M的无限多个点。证：略。13.（1）若度量空间中的序列氏｝是收敛的，并且有极限兀，试证明｛XJ的每个子序列｛%｝都是收敛的，并且有同一极限。（2）若｛x”｝是Cauchy序列，并且存在收敛的子序列｛兀*｝,试证明｛心｝也是收敛的，并且有同一极限。(1)略(2)*w、3N9当m,nk>N时，有（｛暫｝是Cauchy序列月％tx）18•试证明：Cauchy序列是有界的.证明：若仇｝是Cauchy丿予列，则存在叱‘使得对于一切料〉心‘有p（x/„xj

16、,°（%‘％）｝19.若⑷和｛儿｝都是度量空间*中的Cauchy列，试证明:Q”=Q（x”,儿）是收敛的。证：根据三角不等式，有Pn=P（暫，儿）S（£，兀“）+Q（兀”,儿）+Q（儿，儿）兀“）+几+。（儿,儿）故,几兀,兀"）+0（儿，儿）同样有：几-几WQ（入，兀”）+。（儿，儿）sp：pn-pin

17、以xeM,因此M是紧的。第三章线性空间和赋范线性空间10•试证明下列都是川上的范数（1）1=1m2=1=1丄2:⑶X二=maxX00•II12是范数吗?/=1⑴、（2）和（3）的证明略不是范数,不满足三角不等式。以恥为例,令x=（l,0）,y=（0,1）则

18、x

19、=

20、y

21、=l,

22、x+y

23、=413.试证明（1）C、C。和厶都是八的线性空间，其中C是收敛数列集；C。是收敛数列0的数列集；/。是只有有限个元素的数列集。（2）C。还是八的闭子空间，从而是完备的。（3）不是严的闭子空间。证明：（2）设^=（xpx2...）gC0,E=（#"）,朗）,…），使得

24、x”T%”）•则有任意的£〉0,3N使得对于一切j,当n>N,时有

25、xn-x

26、又因为eCQ,所以mk,当i>