浙江专用2019高考数学二轮复习专题三数列与不等式第3讲数列的综合问题学案

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1、第3讲　数列的综合问题[考情考向分析]　1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点，也是一个难点，主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等．热点一　利用Sn，an的关系式求an1.数列{an}中，an与Sn的关系an＝2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f

2、(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．例1　(2018·浙江)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.(1)求q的值；(2)求数列{bn}的通项公式．解　(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项，得a3＋a5＝2a4＋4，所

3、以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.由a3＋a5＝20，得8＝20，解得q＝2或q＝.因为q>1，所以q＝2.(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}的前n项和为Sn.由cn＝解得cn＝4n－1(n∈N*)．由(1)可得an＝2n－1，所以bn＋1－bn＝(4n－1)×n－1，故bn－bn－1＝(4n－5)×n－2，n≥2，bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)×n－2＋(4n－9)×n－3＋…＋7×＋3.设Tn＝3＋7×＋11×2＋…

4、＋(4n－5)×n－2，n≥2，①则Tn＝3×＋7×2＋…＋(4n－9)×n－2＋(4n－5)×n－1，n≥2，②①－②，得Tn＝3＋4×＋4×2＋…＋4×n－2－(4n－5)×n－1，n≥2，因此Tn＝14－(4n＋3)×n－2，n≥2.又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)×n－2，n≥2，当n＝1时，b1＝1也满足上式，所以bn＝15－(4n＋3)×n－2，n∈N*.思维升华　给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系

5、，先求出Sn与n之间的关系，再求an.跟踪演练1　已知数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an>0，数列的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值．解　(1)由已知a1an＝S1＋Sn，①可得当n＝1时，a＝a1＋a1，解得a1＝0或a1＝2，当n≥2时，由已知可得a1an－1＝S1＋Sn－1，②①－②得a1＝an.若a1＝0，则an＝0，此时数列{an}的通项公式为an＝0.若a1＝2，则2＝an，化简得an＝2an－1，即此时数列{an}是以2为首项

6、，2为公比的等比数列，故an＝2n(n∈N*)．综上所述，数列{an}的通项公式为an＝0或an＝2n(n∈N*)．(2)因为an>0，故an＝2n.设bn＝log2，则bn＝n－5，显然{bn}是等差数列，由n－5≥0，解得n≥5，所以当n＝4或n＝5时，Tn最小，最小值为T4＝T5＝＝－10.热点二　数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．例2　已知函数f(x)＝ln(1＋x)－.(1)若x≥0时，f

7、(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{an}的通项an＝1＋＋＋…＋，证明：a2n－an＋>ln2.(1)解　由已知可得f(0)＝0，∵f(x)＝ln(1＋x)－，∴f′(x)＝，且f′(0)＝0.①若λ≤0，则当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)≥f(0)＝0，不合题意；②若0<λ<，则当00，f(x)单调递增，∴当0f(0)＝0，不合题意；③若λ≥，则当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x≥0时，f(x)≤f(0)＝0，符合题意．综上，λ≥.∴实数

8、λ的最小值为.(2)证明　由于a2n－an＋＝＋＋＋…＋＋＋，若λ＝，由(1)知，f(x)＝ln(1＋x)－，且当x>0时，f(x)<0，即>ln(1＋x)，令x＝，则>ln，∴＋>ln，＋>ln，＋>ln，…，＋>ln.以上各式两边分别相加可得＋＋＋＋＋＋…＋＋>ln＋ln