浙江2019高考数学二轮复习专题三数列第3讲数列不等式的证明问题选用学案.doc

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1、第3讲　数列不等式的证明问题(选用)高考定位　1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识.真题感悟(2017·浙江卷)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*).证明：当n∈N*时，(1)0＜xn＋1＜xn；(2)2xn＋1－xn≤；(3)≤xn≤.证明　(1)用数学归纳法证明：xn＞0.当n＝1时，x1＝1＞0.假设n＝k(k≥1，k∈

2、N*)时，xk＞0，那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0，则0＜xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾，故xk＋1＞0，因此xn＞0(n∈N*).所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)＞xn＋1，因此0＜xn＋1＜xn(x∈N*).(2)由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得，xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1).记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0).f′(x)＝＋ln＞0(x＞0)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调

3、递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，故2xn＋1－xn≤(n∈N*).(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，所以xn≥xn－1≥xn－2≥…≥x1＝.故xn≥.由≥2xn＋1－xn得－≥2＞0，所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2，故xn≤.综上，≤xn≤(n∈N*).考点整合1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈

4、N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.反证法一般地，由证明pq转向证明：綈qr…t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.3.放缩法放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证A

5、}满足：a1＝a，an＋1＝(a>0且a≠1，n∈N*).(1)证明：当n≥2时，anb.证明　(1)由an＋1＝知，an与a1的符号相同，而a1＝a>0，所以an>0，所以an＋1＝≤1，当且仅当an＝1时，an＋1＝1，下面用数学归纳法证明：①因为a>0且a≠1，所以a2<1，＝>1，即有a21，即ak＋1

6、上，对任意n≥2，均有anak＋1>ak≥b；若aka2>a2＝a2≥a2.因为k≥＋1，所以(k－1)＋1≥＋1＝，所以ak＋1>b.探究提高　数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由特殊到一般的结论成立问题.因此，可以在数列不等

7、式的证明中大显身手.在本例中，(1)首先根据条件等式的结构特征推出an>0，然后用数学归纳法证明即可；(2)首先由(1)知当k≥2时，1>ak＋1>ak≥b，然后利用数列的递推公式证明即可.热点二　反证法证明数列不等式【例2】(2018·温州调考)已知数列{an}满足：an>0，an＋1＋<2(n∈N*).(1)求证：an＋21(n∈N*).证明　(1)由an>0，an＋1＋<2，得an＋1<2－<2.因为2>an＋2＋>2(由题知an＋1≠an＋2)，

8、所以an＋2N时，an≤aN＋1<1.根据an＋1－1<1－＝<0，而an<1，所以>＝1＋，于是>1＋，……>1＋.累加可得>n－1＋.(*)由假设可得aN＋n－1<0，而当n>－＋1时，显然有n－1＋>0，因此有1(n∈N*).法二　假设存在aN≤1(N≥1，N∈N*)，由(1)可得当n>N时，0