浙江专用2019高考数学二轮复习专题三数列与不等式第2讲数列的求和问题学案

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1、第2讲　数列的求和问题[考情考向分析]　数列的求和问题作为数列的基础知识，为数列与不等式等综合问题提供必要的准备．热点一　分组转化法求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例1　在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a3＝4，a3是a2－2与a4的等差中项，若an＋1＝(n∈N*)．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若数列满足cn＝an＋1＋，求数列的前n项和Sn.解　(1)设等比数列{an}的公比为q，且q>0，由an>0，a1a3＝4

2、，得a2＝2，又a3是a2－2与a4的等差中项，故2a3＝a2－2＋a4，∴2·2q＝2－2＋2q2，∴q＝2或q＝0(舍)．∴an＝a2qn－2＝2n－1，∴an＋1＝2n＝，∴bn＝n(n∈N*)．(2)由(1)得，cn＝an＋1＋＝2n＋＝2n＋，∴数列的前n项和Sn＝2＋22＋…＋2n＋＝＋＝2n＋1－2＋(n∈N*)．思维升华　在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各

3、项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．跟踪演练1　已知{an}为等差数列，且a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝88，且数列为等比数列(n∈N*)．(1)求数列{an}和的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.解　(1)设{an}的公差为d，因为a2＝3，{an}前4项的和为16，所以a1＋d＝3,4a1＋d＝16，解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*)．设的公比为q，则b4－a4＝q3，所以q3＝＝＝27，得q＝3，所以b

4、n－an＝×3n－1＝3n(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝3n＋2n－1，所以Sn＝(3＋32＋33＋…＋3n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝＋＝＋n2＝＋n2－(n∈N*)．热点二　错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．例2　已知数列{an}满足a1＝a3，an＋1－＝，设bn＝2nan(n∈N*)．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解　(1)由bn＝2nan，得an＝，代

5、入an＋1－＝得－＝，即bn＋1－bn＝3，所以数列{bn}是公差为3的等差数列，又a1＝a3，所以＝，即＝，所以b1＝2，所以bn＝b1＋3(n－1)＝3n－1(n∈N*)．(2)由bn＝3n－1，得an＝＝，所以Sn＝＋＋＋…＋，Sn＝＋＋＋…＋，两式相减得Sn＝1＋3－＝－，所以Sn＝5－(n∈N*)．思维升华　(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确

6、，可对得到的和取n＝1,2进行验证．跟踪演练2　已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．数列{bn}是公差d不等于0的等差数列，且满足：b1＝a1，b2，b5，b14成等比数列．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.解　(1)当n＝1时，a1＋a1＝1，a1＝，当n≥2时，Sn－Sn－1＝，所以an＝an－1(n≥2)，所以{an}是以为首项，为公比的等比数列，所以an＝×n－1＝2×n.由b1＝1，又b＝b2b14，得2＝，d2－2d＝0，因为d≠0，所

7、以d＝2，所以bn＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)得cn＝，则Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋…＋＋，②①－②得，Tn＝＋4－，＝＋4×－＝－－，所以Tn＝2－(n∈N*)．热点三　裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．例3　已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a(Sn－an＋1)(n∈N*)(a为常数，a≠0，a≠1)．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋Sn，若数列{bn}为等比数列，求a的值；(3)在

8、满足条件(2)的情形下，cn＝.若数列的前n项和为Tn，且对任意n∈N*满足Tn<λ2＋λ，求实数λ的取值范围．解　(1)∵Sn＝a，∴n＝1时，a1＝a.n≥2时，Sn－1＝a(Sn－1－a