广西2020版高考数学一轮复习考点规范练48直线与圆锥曲线文

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1、考点规范练48　直线与圆锥曲线一、基础巩固1.(2018甘肃兰州一诊)双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.54B.5C.54D.5答案D解析不妨设x2a2-y2b2=1的渐近线y=bax与y=x2+1只有一个交点,由y=bax,y=x2+1得ax2-bx+a=0,所以Δ=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,c2a2=5,e=ca=5.故选D.2.(2018山东烟台期末)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>

2、0,b>0)的右焦点F(1,0)作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为83,则双曲线的渐近线方程为(　　)A.y=±32xB.y=±22xC.y=±23xD.y=±2x答案B解析由题意得

3、AB

4、=2b2a,∵S△AOB=83,∴12×2b2a×1=83,∴b2a=83.①∵a2+b2=1,②解①②得a=13,b=223,∴双曲线的渐近线方程为y=±bax=±22x.故选B.3.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.当直线l的斜率为12时,

5、直线l在y轴上的截距的取值范围是(　　)A.34,+∞B.34,+∞C.(2,+∞)D.(-∞,-1)答案A解析设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=12x+b,过点A,B的直线可设为y=-2x+m,联立方程y=2x2,y=-2x+m得2x2+2x-m=0,从而有x1+x2=-1,Δ=4+8m>0,m>-12.又AB的中点-12,m+1在直线l上,即m+1=-14+b,得m=b-54,将m=b-54代入4+8m>0,得b>34,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是34,+∞.4.过抛物线C:y2=4x的焦点F

6、,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　)A.5B.22C.23D.33答案C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,23).因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,23).因为F(1,0),所以直线NF:y=-3(x-1).所以M到直线NF的距离为

7、3×(3-1)+23

8、(-3

9、)2+12=23.5.斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则

10、AB

11、的最大值为(　　)A.2B.455C.4105D.8105答案C解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5.所以

12、AB

13、=1+k2

14、x1-x2

15、=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=2·-85t2-4×4(t2-1)5=425·5-t2,当t=0时,

16、AB

17、ma

18、x=4105.6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则m的值为(　　)A.32B.52C.2D.3答案A解析由双曲线的定义知2a=4,得a=2,所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,所以y1=2x12,y2=2x22,两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设x1

19、y=x+m对称,所以y1-y2x1-x2=-1,故x1+x2=-12,而x1x2=-12,解得x1=-1,x2=12.设A(x1,y1),B(x2,y2)的中点为M(x0,y0),则x0=x1+x22=-14,y0=y1+y22=2x12+2x222=54.因为中点M在直线y=x+m上,所以54=-14+m,解得m=32.7.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为　　　　　. 答案22解析直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=

20、x平行,且两平行线间的距离为22.由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于22,要使距离d大于c恒成立,只需c≤22即可,故c的最大值为22.8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同