2019高中数学第3章数系的扩充与复数3.1.3复数的几何意义学案新人教B版选修2

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1、3.1.3 复数的几何意义1.掌握复数的几何意义,即能够掌握复数与复平面内的点的对应关系,掌握向量、复数及复平面上点的坐标之间的转化关系.2.能够利用复数的几何意义解决一些较简单的题目.1.复数的几何表示根据复数相等的定义,复数z=a+bi被一个有序实数对(a,b)所______确定,而每一个有序实数对(a,b),在平面直角坐标系中有唯一确定一点Z(a,b)(或一个向量).这就是说,每一个复数,对应着平面直角坐标系中唯一的______(或一个向量);反过来,平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量),也对应着唯一的一个有序实数对.这样我们通过有序实数对,可以建立复

2、数z=a+bi和点Z(a,b)(或向量)之间的一一对应关系.点Z(a,b)或向量是复数z的______表示(如图).复数z=a+bi有序实数对(a,b)点Z(a,b).【做一做1-1】对于复平面,下列命题中是真命题的是(  ).A.虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B.实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限内的点的集合是一一对应的C.实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D.实轴上方的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的【做一做1-2】设z=(2a2+5a-3)+(a2-2a+3)i(a∈R),则下列命题中正确的是(  ).A.

3、z的对应点Z在第一象限B.z的对应点Z在第四象限C.z不是纯虚数D.z是虚数2.复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做______.在复平面内,x轴叫做______,y轴叫做______.x轴的单位是1,y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点,原点(0,0)对应复数0.(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点.(2)复数z的几何表示为我们用向量方法解决复数问题或用复数方法解决向量问题创造了条件.(3)为了方便起见,我们常把复数z=a+bi(a,b∈R)说成点Z或说成向量,并规定:相等向量表示同一个复数.【做一做2】下面有关复平面的命题,其中正确

4、的有________.①实轴与虚轴无交点;②实轴上的点对应的复数为实数,虚轴上的点对应的复数为虚数;③实轴与虚轴的单位都是1;④实数对应的点在实轴上,纯虚数对应的点在虚轴上.3.复数的模、共轭复数(1)设=a+bi(a,b∈R),则向量的长度叫做复数a+bi的____(或绝对值),记作

5、a+bi

6、,

7、a+bi

8、=________.(2)如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这两个复数叫做互为______复数.复数z的共轭复数用表示.说明:①复数z的模即有向线段的长度或两点间的距离.在数轴(一元坐标)上我们叫实数的绝对值,在直角坐标系(二元坐标)上我们叫向量

9、的模,但叫绝对值也可以.其本质都是线段的长.②由

10、z

11、=,得

12、z

13、2=a2+b2,而由a2+b2=(a+bi)(a-bi),可得公式z·=

14、z

15、2=

16、

17、2,这一公式在分解因式、复数与实数的互化、模及共轭复数的运算中都应用很广泛.【做一做3-1】复数i+2i2的共轭复数是(  ).A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i【做一做3-2】满足条件

18、z

19、=

20、3+4i

21、的复数z在复平面上对应的点的轨迹是(  ).A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆1.如何理解复数的两种几何形式?剖析:这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,

22、而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.复数z=a+bi(a,b∈R)对应的点的坐标是(a,b),而不是(a,bi).复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与相等的向量有无数个.2.复数的模、共轭复数有什么联系?剖析:(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模用

23、z

24、表示,其公式为

25、z

26、=,它既是z对应的向量的长度又是其对应的点Z(a,b)到原点的距离.(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为=a-bi,它们对应的点关于实轴对称.当b=0时,z=,此时z与对应的点是实

27、轴上的同一个点.如果z=,可以推得z为实数.由此可得z=⇔z为实数.

28、z

29、2=z·.题型一复数的几何表示【例题1】已知a∈R,则z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z所对应的点的轨迹是什么?分析:根据复数与复平面上点的对应关系知,复数z对应的点在第几象限与复数z的实部和虚部的符号有关;求复数z对应的点的轨迹问题,首先把z表示成为z=x+yi(x,y∈R)的形式,然后寻求x,y之间的关系,但要注意参数限定的条件.题型二共轭复数【例题2】已知x-1+yi与i-3x是共轭复数,求实数x与y的值.分析:根据共轭复数及复数相等的概念列方程

30、组求x,y.反思:复数z

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