通用版2020版高考数学大一轮复习第13讲变化率与导数学案理新人教A版

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1、第13讲　变化率与导数、导数的运算1.变化率与导数(1)平均变化率:概念对于函数y=f(x),f(x2)-f(x1)x2-x1=ΔyΔx叫作函数y=f(x)从x1到x2的　　　　变化率 几何意义函数y=f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的　　　 物理意义若函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx就是该质点在[x1,x2]上的　　　　速度 (2)导数:概念点x0处limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,我们称它为函数y=f(x)在　　　　处的导数,记为f'(x0

2、)或y'

3、x=x0,即f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx= limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx区间(a,b)当x∈(a,b)时,f'(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0　　　　　　叫作函数在区间(a,b)内的导数 几何意义函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是函数图像在该点处切线的　　　　.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是　　　　　　　　 物理意义函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的　　　　速度,在(a,b)内的导数就是质

4、点在(a,b)内的　　　　方程 2.导数的运算导函数特例或推广常用导数公式原函数常数函数C'=0(C为常数)幂函数(xn)'=　　　　(n∈Z) 1x'=-1x2三角函数(sinx)'=　　　　,(cosx)'=　　　　 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(ax)'=　　　　(a>0,且a≠1) (ex)'=ex对数函数(logax)'=　　　　(a>0,且a≠1) (lnx)'=1x,(ln

5、x

6、)'=1x四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=　　　 ∑i=1nfi(x)'=∑i=1nf'i(x)乘

7、法[f(x)·g(x)]'= [Cf(x)]'=Cf'(x)除法f(x)g(x)'= (g(x)≠0)1g(x)'=-g'(x)[g(x)]2复合函数求导复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=　　　　,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积” 题组一　常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1L增加到2L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为　　　　. 2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单

8、位:元)为c(x)=5284100-x(80

9、'=　　　　. 7.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)=　　　　. 8.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)=　　　　,[f(2x+3)]'=　　　　. 探究点一　导数的运算例1(1)若函数f(x)=x·ex+f'(1)·x2,则f'(1)=　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)函数y=sin(x+1)-cosx2的导数为y'=　　　　　　　.    [总结反思](1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式

10、求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.变式题(1)已知函数f(x)=sin2x-π3,则f'π3=(　　)A.3B.32C.12D.1(2)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为(　　)A.12B.23C.34D.1探究点二　导数的几何意义角度1　求切线方程例2[2018·南昌模拟]曲线y=3sinx+16x3+1在点(0,1)处的切线方程为　　　　　　　　.    [总结反思](1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x

11、0)(x-x0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.变式题已知f(x)=x3-3x,过点P(-