通用版2020版高考数学大一轮复习第14讲导数与函数的单调性学案理新人教A版

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1、第14讲　导数与函数的单调性函数的单调性与导数导数到单调性单调递增在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在这个区间上单调　　　 单调递减在区间(a,b)上,若f'(x)<0,则f(x)在这个区间上单调　　　 单调性到导数单调递增若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f'(x)　　　 单调递减若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f'(x)　　　 “函数y=f(x)在区间(a,b)上的导数大(小)于0”是“其单调递增(减)”的　　　　条件 题组一　常识题1.[教材改编]函

2、数f(x)=ex-x的单调递增区间是　　　　. 2.[教材改编]比较大小:x　　　　lnx(x∈(1,+∞)). 3.[教材改编]函数y=ax3-1在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为　　　　. 4.[教材改编]已知f(x)是定义在R上的可导函数,函数y=ef'(x)的图像如图2-14-1所示,则f(x)的单调递减区间是　　　　. 图2-14-1题组二　常错题◆索引:可导函数在某区间上单调时导数满足的条件;利用单调性求解不等式时不能忽视原函数的定义域;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调

3、性时分类标准有误.5.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上为增函数,则k的取值范围是　　　　. 6.若函数f(x)=lnx-1x,则不等式f(1-x)>f(2x-1)的解集为　　　　. 7.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为　　　　. 8.讨论函数y=ax3-x在R上的单调性时,a应分　　　　、　　　　、　　　　三种情况讨论. 探究点一　函数单调性的判断或证明例1[2018·商丘二模]已知函数f(x)=(x-1)ex+1+mx2,其中m为常数,且m>-e2.讨论函数f(x)

4、的单调性.   [总结反思]用导数法判断和证明函数f(x)在区间(a,b)内的单调性的一般步骤:(1)求f'(x).(2)确认f'(x)在区间(a,b)内的符号(如果含有参数,则依据参数的取值讨论符号).(3)得出结论:f'(x)>0时,函数f(x)为增函数;f'(x)<0时,函数f(x)为减函数.变式题已知函数f(x)=x+axex,a∈R.(1)求f(x)的零点;(2)当a≥-5时,求证:f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.    探究点二　求函数的单调区间例2[2018·北京朝阳区一模]已知

5、函数f(x)=lnx-1x-ax(a∈R).(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若a<-1,求函数f(x)的单调区间. [总结反思](1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式,其解集即为函数的单调区间;含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解,其解集即为函数的单调区间.(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.变式题(1)函数f(x)=3lnx-4x+12x2

6、的单调递增区间为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.(0,1),(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,1),(3,+∞)D.(3,+∞)(2)函数f(x)=x+3x+2lnx的单调递减区间是　　　　. 探究点三　已知函数单调性确定参数的取值范围例3已知函数f(x)=x2+lnx-ax.(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.    [总结反思](1)f(x)在D上单调递增(减),只要满足f'(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可.如

7、果能够分离参数,则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.(2)二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.变式题(1)[2018·哈尔滨师大附中三模]若函数f(x)=2x+sinx·cosx+acosx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(　　)A.[-1,1]B.[-1,3]C.[-3,3]D.[-3,-1](2)若函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)A.[0,+∞

8、)B.(-∞,0]C.(-∞,0)D.(0,+∞)探究点四　函数单调性的简单应用例4(1)定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)0,若1