高三一轮复习三角函数的最值和综合运用

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1、高三一轮复习三角函数的最值和综合运用—、同步知识梳理1.和、差角公式sin(a±0)=sinacos0土cos仅sin0cos(a±0)=cosacos0刁sinasin0；2.二倍角公式tan2a=2tana1-tan2asin2a=2sinacosecos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-=1-2sin2a；3.辅助角公式asinx+bcosx=J/+b?.sin(x+0)其中sin0=by[a2+b2,cos(p=4.同角的正弦余弦的和差与积的转换同一问题中出现sinx+cosx,sinx-cosx,sinx•cosx,求它们的范

2、围，一般是令sinx+cos兀=t或sinx-cosx=Z=>sinx・cosx=或sinxecosx=-^2转化为关于/的二次函数來解决二、同步题型分析题型1：考察可以转化为形如y=asin2x(cos2x)+bsinx(cosx)+c型•函数的值域例1：求函数f(x)=cos2x-2sinx-l的值域分析：将函数变形为关于sinx的二次函数：f(x)二1-sin'x-2sinxT二-sin'x-2sinx。因此,f(x)max=-1+2=1,f(x)min=-l-2=-3,・・・f(x)值域为[-3,1]题型2：考察含sinx+cosx,sin

3、x-cosx,sinx-cosx项型函数的值域。例1：求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。分析：令sinx+cosx=t(-V2

4、+sir?x+l+cos2x=2+V^sin(2x+f)当sin(2x+—)=-l时，y取最小值2-血，此时x的集合{x

5、x=kji--n,k48ez}例2：当-兰WxW兰时,函数f(x)=sinx+V3cosx的()22A、最大值是1,最小值是-1；B、最大值是1,最小值是-1/2C、最大值是2,最小值是-2；D、最人值是2,最小值是T分析：解析式可化为f(x)=2sin(x+-),再根据x的范围来解即可o32x^-,—,选D2636小结：通过比较例1和例2,我们可以得到辅助角公式在求三角函数值域方面的应用，同时要注意给定区间上三角函数求最值的注

6、意点。三、课堂达标检测检测题1：求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M。分析：y=l_sin2x~2asinx~a=_(sinx+a)2+a2+l~a,令sinx=t,则y=-(t+a)2+a2+l~a,(TWtWl)(1)若-a<-l时，即a>l时，在t=~l时，取最大值M二a。(2)若-1SW1,即-IWaWl时，在t=-a时,取最大值M=a2+l-ao(3)若-a>l,即a〈-l时,在t二1吋，取大值M=-3a.检测题2：求函数y二1+sin对cos丹sinxcosx的值分析：设Fsirkv+cosx,贝ij绘[-V2,

7、V2].由(sinx+cosQ2=^2=>sin%cosA=.•:尸1+广+=—(f+1):222・・・恵孑丄(71+1)2二丄辽，皿二0・・・・值域为[o,2±空]222检测题3：已知函数f(x)=(2V3sinx-2cos)cos+1.(I)求f(x)的最小正周期；(II)求f(x)在区

8、Dj[-,-]±的最值.22分析：(I)因f(x)二(2sinx~2cos)cos+1二侖sin2x~cos2x=2sin(2x~—).所6以f(x)的最小正周期T=n(II)由xw[f,£],2x-矢[£,》],所以f(x)最小值是1,最大值是242636检

9、测题4：己知sin0、cos〃是关于x的方程x—ax~Va=Q的两根，则a分析：由题意知，原方程判别式420,即(一臼)2—4臼20,/.或臼W0..Jsin〃+cos[sin"cos()=a,又(sin〃+cos〃)'=l+2sin〃cos(),・：a—2a—1=0,/.a=1—迈或a=1(舍去)•—、专题精讲例1：已知e】，型是夹角为瞥的两个单位向量，a=e—2®,b=ke}+e>,若a・b=0,则实数£的值为・分析:由题意知:a•方=(e】一2Q•(屁1+色)=0,即gel+eg—2ke何一2泾=0,2兀2n—.5即A+cos-z-—2/r

10、cos-z-—2=0,化间口」求得k=~.231、(2nJI)lo〃w—;A：曰+b>1O〃珂3'兀；p3：1a—b>l