浅谈定积分的应用论文

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1、浅谈定积分的应用摘要：微积分在儿何、物理、经济学等方面有许多应用，用定积分求某一总量时，我们通常并不是通过积分定义得到定积分表达式，而是利用微元法，先求出该总量的微分元素,然后再积分求出该总量。微元法是整个微积分应用中的重要技术。关键词：定积分微元法微元元素边际函数微元法简介用定积分计算儿何中的面积、体积、弧长、物理屮的功、引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来。微兀法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法.它的大致步骤是这样的：设所求量厂是一个与某变量（设为兀）的变化区间【讷有关的量，且关于区间刚具有可加性.我们就设想

2、把M分成27个小区间，并把其中一个代表性的小区间记作+dxl,然后就寻求相应于这个小区间的部分量a的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到a的形如张）・&近似表达式（其屮H町为@卅上的一个连续函数在点兀处的值，为小区间的长度），那么就把称为量厂的元素并记做dt/,即接着就以量F的元素作为被积表达式在刚上进行积分，就得到所求量F的积分表达式：I.定积分的几何应用一、平面区域的面积理论上我们知道能用定积分的儿何意义求任何曲线所围平面区域的面积，只要区域边界曲线能表达为一元函数的图形，但根据函数的单值性要求，若y=

3、fMxe[a,b]f则平行于y轴的直线去截曲线至多只能有一个交点。若x=^y)yec,d］则平行丁'轴的直线去截曲线至多只能有一个交点，所以耍注意曲线的函数表达。定积分的应用，是把问题写成时关键是把fg=dFM的意义搞清楚，这个观点称为微元法。比如要求以兀=。，x=b(ag(x)o我们考虑从兀到尤+必这个微元，它的而积可看成一个矩形，高近似地取于⑴一g(Q，其而积=(fM-g(x))dx=dA(x)o所以所围图形面积为1、直角坐标系下，曲线所围区域面积

4、设为A1)y是兀的函数时有以下四种情况2)若兀是y的函数吋的四种情况上=J：©O）妙y▲d-—-吩）呛）（Cdd0C上=『⑷O）I©Cx）呛）+k卫=f［巩刃_皆®）］妙解：这两条抛物线所围成的图形如图所示.求出两条抛物线的交点为（°』）与（1，1）,从而知道图形介于x=U与x-1之间.所以，它的面积^^3—3例1.计算由两条抛物线：y=低，y=x2所围成的图形的面积.2.求曲线〃二一4（兀-1）与/二-2（兀-2）围成的图形而积。解：画图如下，恰如“月上柳梢头，人约黄昏后”的一弯新月，切记做这类问题都要画图，一是便于理解掌握，二是

5、“诗配画”的意境是一个整体,绝不是单单几个公式一个答案所能涵盖的。y2=-2（x-2）写成2Az［、x=—（4—这里把y二-4°-1）写成4•83。±2的两条抛物线。1°做题中注意，首先若不同曲线相交吋，要求出两曲线的交点作为积分限。另外，特别是当区域边界曲线在此坐标系下既可表为＞‘（兀）又可表为班刃时，就有两种不同的积分求解，就有难易z分，在判别上多卞点功夫可能比一条路走到底更省力。2°对于一般区域若既不能全部边界曲线表为）'（刃，又不能全表为班刃，那么用定积分区域可加性将其划分为若干部分分别处理再求和，如图4）举例°例1由抛物线

6、*F和直线x-2y-3=o所围区域的面积解：先求两曲线交点y=3x=9作图如图法i若按习惯，将丿看成兀的函数，被积区域是兀丘〔°，91,但在［o,i］上是乳⑴=眉和y2（x）=-仮所围区域以及［1,9］上是y=頁和y=尹T所围法2若我们将其看成兀为y的函数，积分区域是yw〔j，3］/l=£［（2y+3）-y2k/y=y此例看出，当区域边界曲线既可只力又可兀（刃时，有难易之分。2.极坐标情形另外，由解析儿何知，同一条曲线在不同坐标系下有不同的表达形式，所以还要以各种坐标系分类。当某些平面图形的边界曲线以极坐标方程给出时，我们可以考虑直

7、接用极坐标来计算这些平而图形的而积。设由曲线卩=侃切（用Owe（翊）与射线0*,0=0（QV0）围成一图形（称为曲边扇形，以下简称曲边扇形/Ill图）。我们耍求其面积.rti于当s在BQ上变动吋，极径也随之变动，因此我们不能直接利用圆扇形的面积公式八=豆尺'来计算曲边扇形的而积。取极角F为积分变量，它的变化区间为期,在【"I上任取一小区间如胪十<>*],对应的窄曲边扇形的面积近似等于半径为风P),中心角为<*护的圆扇形的面积，从而得到曲边扇形的面积元素dA=^M*)l^v以豆为被积表达式，在闭区间上作定积分，便得到所求曲边扇形的面积

8、。曲边扇形0