例谈定积分在高考题中的应用-论文.pdf

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1、数学版中学生理科应试·39·例谈定积分在高考题中的应用湖北省大冶市第一中学(435100)黄俊峰袁方程有些高考试题可以利用定积分的定义或几何(i)求函数)的单调区间；意义求解，下面举例说明．(ii)证明：若对于任意非零实数。，曲线c与一、求概率其在点P(。))处的切线交于另一点P2(，例l(2010年陕西高考试题13题)从如图l所：))，曲线c与其在点P2(：))处的切线交示的长方形区域内任取一个点M(x，Y)，则点取于另一点P3(奶，))，线段PP2，e2P3与曲线c所围自阴影部分的概率为——．．成封闭图形的面积分别记为s，，则为定值；分析点M取自阴影部分2y=3x的

2、概率即为阴影部分的面积占(iii)对于一般的三次函数g()=口+6+长方形面积的比例，所求概率为+d(。≠O)，请给出类似于(i)(ii)的正确命321，题，并予以证明．．。解(1)，(3)略；(2)直线PP2的斜率k。=丁了’3—l，得直线P。P2：，，一(一)=(3x一1)(—二、求面积。)，且pY：(3x一1)一2，与Y=一联立，得1．求曲线与线段所围成封‘(一)一(一。)=(3x一1)(—。)即(一闭图形的面积1)(+l+一1)=(一1)(3x一1)=0，例2(2010年福建高考试题20题)(I)已知≠I时得+戈1+一1=3x一1即+l一函数)=一，其图象记为曲

3、线C‘·八、静态检验．，．．+=+当问题处在运动状态但结果是定值或确定的范n(，blal、n围时，可取其特殊的静止状态进行检验，以避免非智丁)≥+力因素引起的心理性错误．b×≥+1=32例8(2009年高考浙江卷(理))如图2，在长，当且仅当4I方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线=，即4o=b时取得最小值．段Ec(端点除外)上一动点．现将△A肋沿AF折起，使平面ABDJ-平面ABC．在平面ABD内过点D作DK上由n<0，b>0得b=一2n，代人a+b=2，故AB，K为垂足．设AK=t，则t的取值范围是．正确答案为n=一2．七、极端检验当端点处是否

4、成立难以确定时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误．例7(2012年高考上海卷(理))已知函数，()=e。(o为常数)，若)在区间[1，+a。)上图2是增函数，则a的取值范围是一错解乱填一个范围．错解’．‘函数)=e’在[1，+∞)上是检验当点，与点重合时，t=1；当点，与增函数，．．由复合函数单调性的规律可知t=点C重合时，由上A曰，凹上D，知CB上平面l一0I在[1，+∞)上是增函数．ABD，从而CB上D，即得胎=√3，又AB=2，D=又t=l一口I在[n，+∞)上是增函数，1‘．．[1，+。。)c[口，+∞)，故口∈(一∞，1)．1，所以AD上D曰，则

5、有t：—．二检验若o：1，则，()=e，易知它在[1，1+)上是增函数．故正确答案为n(一∞，1]．故正确答案为(÷，1)．(收稿日期：2014—02—20)·40·中学生理科应试2014．5，62x=0，(一1)(+2x1)=0，因为≠l得=—————一2(n+1)’一2xl，即2=一2xl，同理3=一2x2．由于Y一，()例5(2012年天津高考理科压轴题)已知函数=[(3x一1)一2x]一(一)=一+3-2x；，，()=—ln(x+n)的最小值为0，其中n>0．得面积s-=I(，，一))l=I：(一3+(I)求n的值；(1I)若对任意的∈[0，+∞)有，()≤kx

6、23c：成立，求实数k的最小值；NNs2：274所以S1：(0I)证明一ln(2n+1)<2(n∈，戛=()=1．2．求曲线与曲线所围成封闭图形的面积N’1．．例3(2010年山东高考试题7题)由曲线Y=解析(1)n=1，过程略．，Y=围成的封闭图形面积为()．(2)实数的最小值为÷，过程略．A．B．1c了1D．．(3)要证一ln(2n+1)<2(n∈N’)，解两曲线所围成封闭图形的面积S=I(2一)出I：I(手一手)=．故选A．即证2+一ln(2n+1)<2即证三、证明不等式<1n(2n+1)．构造函数y==例4(2010年湖北高考理科压轴题)已知函数)=似b+c(。

7、>0)的图象在点(11))处士，并作图象，由函数图象可知，在IX间[1，n]—的切线方程为y=一1．上的n一1个小矩形的面积之和小于曲边梯形的面(I)用n表示出b，c；积，即，’×l+，’×1+．．‘+，，×(II)若，()>lnx在[1，+∞)上恒成立，求。的取值范围；1lnn+1)即