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1、矩阵基础知识贺国宏编为了学好测绘工程专业的核心课程〈测量平差基础〉，必须掌握以卞所述炬阵的基础知识，同时,学习这些知识，对于学习测绘工程的其它课程，以及以后的深造，都是重要的。定义：炉:阵A的最大线性无关的行(列)向量的个数八称为矩阵A的行(列)秩。由于矩阵的行秩等于列秩，故统称为矩阵的秩，记为R(A).对于矩阵的秩有性质：(1)2.矩阵的迹O)/J/g(4q(6定义：方阵A的主对角元素之和称为该方阵的迹，记为/=1对于矩阵的迹有下血的性质：⑴tr(AT)=tr(A)(2)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)(3)tr(kA)=ktr(A)⑷tr(AB)=t
2、r(BA)3、矩阵的特征值和特征向量定义：对于〃阶方阵A,若存在非零向量使得则称常数几为矩阵A的特征值(或特征根)，而/称为矩阵A属于特征值2的特征向量。由此可得(AE-A)/=0因此，该齐次线性方程有非零解的条件是/(2)=
3、2£-A
4、=Z+仏+…+。仏+兔)=0(9)称几E-A为矩阵A的特征矩阵，而f(A)为矩阵A的特征多项式。显然，矩阵A的特征根A(i=1,2,・・・‘)为特征方程⑼的根。应该指出，对于一般的实矩阵A,特征根可能是复数，从而特征向量也是复数。以后将会看到，对丁实对称矩阵，其特征根和特征向量都是实的。这一点是很重要的。特征值和特征向量具有下列
5、性质：(1)设入A，…，人为n阶方阵A的n个特征值,则:人人的特征值为益期，…，尤A4的特征值为石，石，…，石(1)tr(A)=A
6、+入-FA/t
7、a
8、=入丸…血(2)矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。［证］设A的互不相同的特征值为人，人，…,九，其对应的特征向量分别为Zz，Z2，,/wo对加作归纳法，当心,因右工0,结论显然成立。设Z/，z2,线性无关，考虑£+/的情况：设^iZ/+°2力2++0外】无如/=0(a)则A(⑷+°2刀2+++^知1力如2)=a^Xl+a2A2x2+•••+%&以左+%+i人+】龙屮=0⑹(a)x心+］_(/?)得:
9、6(人+i-入)力/+。2(人+1一久2)力2+…色(人+i一At)龙r=°由于畑2,…必k线性无关,故勺(人+1-人)=0心1,2,・・・,£必有ai=0，代入(a)得％】龙如=0由于兀如工0,则ak+l=0,故6/］,勺，…，％+i全等于0,从而力】，龙2,…，九+i线性无关。4、等价矩阵(或相抵矩阵)定义：若矩阵A经过有限次的初等变换化为矩阵B,就称矩阵A与B等价或称A与B相抵，记为A~B。按定义是说，若PmP，n-l…P/AQ/Q2••Q"式中P"P2,…,Pm；Q］，Q2,…,Qnr是初等矩阵，则称A~B。上式可简写为PAQ=B(10)因此，此定义又可
10、改为，若存在满秩方阵P和Q,使PAQ=Bf则称4~乩对于等价矩阵有下述性质：(1)若人〜B,则R(A)=R(B)(2)若A为可逆阵,则A~E(3)对于mXn阶矩阵A,若R(A)=rf则存在可逆阵P加勺，和0皿,使PAQ=(4)若A和B同阶,且R(A)=R(B),则A-B［证］:由⑶,存在可逆阵Pi，Qi；P2,Q2使PiAQt=P2BQ2二P/AQj=P2BQ2,BPP,AQ/Q^=B,改写为PAQ=B,即A〜B5、满秩矩阵阶矩阵A的秩R(A)=m,称A(12)=RS定义：若n阶方阵A的秩R(A)=nf则称A为满秩方阵。若为行满秩阵;若R(A)=n,则称A为列满
11、秩阵。对于任意一mXn阶矩阵A,若R(A)=rf则A可分解为A=R-S其中，R为列满秩阵，S是行满秩阵。这种分解不是唯-的。［ffi］：山(11),存在可逆阵几心和0“畑使改写为A=p-1PAQ=6、幕等矩阵定义：称满足条件a2=aa=a的方阵A为幕等矩阵。幕等矩阵有下述重要性质：(1)幕等矩阵A的特征值为0或1。［证］:设入为A的相应于特征向量为x的特征根，々=&=AAx=/W%=A2%山此2(2-l)x=0,故必有兄=0或;1=1(2)幕等矩阵A的秩,等于它的迹,即R(A)=tr(A)［证］:设R(A)=r,由(12)A=RS其屮，R、S分别为列满秩阵和行满
12、秩阵。由得RSRS=RS两边左乘(RlR)lRr,右乘ST(SST)-1得，(RtR)',RtRSRSSt(SSt)i=(RTR)',RTRSST(SST)'1即SR=ErX因为tr(A)=tr(RS)=tr(SR)=tr(Er)=r即R(A)=tr(A)(1)若方阵A为RQUy的幕等矩阵，则&4也为幕等矩阵，口R(E-A)=n-r［证］(E-A丿2=£-2人+人2：=£4,由(13)式R(E-A)=tr(E-A)=n-tr(A)=n-r7、相似矩阵定义：设4、3都是n阶方阵，若有可逆阵P,使PIAP=B(14)则称B是A的相似矩阵，或说A与B相似。对A进行运算
13、P’AP称为对A进行相似
