关于报童问题的分析

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1、关于报童问题的分析摘要本文讨论了单周期的随即贮存模型——报童问题。通过运用插值拟合等基本模型，运用概率论与数理统计、数值积分等背景知识，得出每天报纸需求量的概率分布，建立报童收益模型，以达到报童最大收益为目的，使报童每天的买进量与需求量尽可能地吻合，以使损失最少，收益最大。在问题一屮，首先求岀概率分布/(厂)。再设定每天报纸的买进量是定值，并将其代入建立好的报童收益模型屮求出平均收益最大值，得出/(r)=-,nMaxG(h)=33.7358n=200在问题二中，即将第一问中的概率分布/(门转化为概率密度/?(r),在irmtlab工具箱子cftoo

2、l屮计算得出此时概率密度为正态分布，将问题一模型屮的求和转化为积分，通过对目标通过数值积分等手段得出报童每天不同买进量下每天平(—190.1)2均收入，从而分析得出每天的最优报纸进货量斤。其p(r)=e54.98,G(n)=672.84,n=207。关键词随即贮存，概率分布，概率密度，平均收益，数值积分1、问题重述1.1问题背景在实际生产生活过程中，经常会遇到一些随时间、地点、背景不同而发生变化的事物，例如报纸的销售的问题。如杲报纸的销售量小于需求量，则会给报童带来缺货损失，失去一部分潜在客户，一部分报纸失销（为简化计算，在本模型中我们忽略缺货损失

3、）；如果报纸的销售量大于需求量，则会导致一部分报纸被退回报社，给报童造成一•部分退货损失，减少盈利。所以在实际考虑屮，应使报纸的购入量尽可能地吻合需求量，减少报童的损失，获得更大的盈利。1.2报童获利途径报童以每份0.3元的价格买进报纸，以0.5元的价格岀售。当天销售不岀去的报纸将以每份0.2元的价格退还报社。根据长期统计，假设已经得到了159天报纸需求量的情况。对现冇数据分析，得出报童每天最佳买进报纸量，使报童的平均总收入最大。1.3问题提出现在需用数学建模解决以下问题：问题1：若将据报纸需求量看作离散型分布，试根据给出统计数据，求出报纸需求量的

4、分布律，并建立数学模型，确定报童每犬买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？问题2：若将据报纸需求量看作连续型分布，试根据给出的统计数据，进行分布假设检验，确定该报纸需求量的分布，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？2、模型假设（1）假设报童在以后的D子里需求量概率分布概率密度遵循这159天的规律（2）假设不考虑缺货损失（3）假设报童进报纸量达到一定数量后不会产生贮存等其他费用（4）假设报童每天都能买进计算出来的应进报纸量r3、符号说明报纸需求量f(r)报纸需求量概率密度（离散型）P(r)报纸需求量概率密度（连续型）

5、n毎天报纸买进量gS)报童一犬的利润收入Pxr/?时的概率为每天卖岀报纸量切每天退冋报纸量4、问题分析单周期随机贮存在实际生产生活屮经常遇到，单周期即只订一次(缺时也不订)，期后可处理余货；随机因素是需求和拖后时间，统计规律为历史资料。报童问题模型的提出及最优解决方案可以为类似问题提供借鉴之处。4.1问题一的分析问题一要求将报纸需求量看作离散型分布，根据给出的数据求报纸需求量的分布律。当数据是离散型的时候我们可以直接计算得出报纸需求量的分布律。根据计算出的分布律代入到建立的模型屮，经求导等步骤后得出报童每天买进报纸数量及最大平均

6、总收入。4・2问题二的分析问题二要求将报纸需求量看作连续型分布。因统计数据为历史资料，因而只能得出历史条件下的概率密度。在问题一的模型基础上我们需将题口屮给出的数据进行统计分析，数据拟合得出概率密度p(r),将求和转化为积分，同样利用求导等手段求出最优解。模型的建立与求解5.1问题一的模型建立与求解5.1.1计算口)因该组数据为离散型分布：159天报纸需求量情况需求量厂100120140160180200220240260280天数3913223235201582表1所以：f(r)=-①n计算结果如下表：报纸需求量概率分布表t10012()1401

7、60180200220240260280f(r)0.01890.05660.08180.13840.20130.22010」2580.09430.05030.0126表25.1.2计算目标函数(1)当天若需求量r小于供应量川时，售出厂份，退IhJ(/?-r)份，报童收入为(0.5—0.3)厂—(0.3—0.2)(〃—厂)兀;(2)当天若需求量厂大于供应量料时，售出料份，退回0份，报童收入为(0.5-0.3)n元。f0.2r-0.1(«-r)rn根据①可得”00G(n)=工

8、(0.5-0.3)厂-(0.3-0.2)⑺

9、-r)]/(r)+工(0.5-0.3)"(厂)r=0r=/?+l=工[°・2厂一0.1(〃一r)]/(r)+0.2工nf(