中考专题训练中考压轴题---探究题

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1、中考专题训练中考压轴题（四）……探究题（结论）1.（06江西课改卷）问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题:①如图1,在正三角形ABC屮，M、N分别是AC.AB上的点与CN相交于点O,若ZBON=60°,则BM=CN.②如图2,在正方形A3CQ中，M、N分別是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O,若ZBON=90°，则BM=CN.然后运用类比的思想提出了如下的命题：③如图3,在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM-UCN相交于点O,若ZBON=108°,则BM=CN.任务要求（1）请你从①、②、③三个命题屮选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探

2、索：图3FE①如图4,在正nSN3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DEk的点，BM与CN相交于点O,问当上BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）②如图5,在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE1.的点，3M与CW相交于点O,当ZBO/V=108°吋，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理山.（1）我选证明:［解］(1)选命题①证明：在图1中，•・・ZBON=60°,・•・ZCBM+ZBCN=60°.•・•ZBCN+ZACN=60°,.・.ZCBM=ZACN.又•・•BC=CA,ZBCM=ZCAN=M°,・•・、BCM9ACAN.

3、・•・BM=CN.选命题②证明：在图2中，•・•ZBON=90°,・•・ZCBM+kBCN=90°.・・•ZBCN+ZDCN=90°,.・.ZCBM=ZDCN.乂•・•BC=CD,ZBCM=ZCDN=90°,・•・△BCMM、CDN.・・・BM二CN.选命题③证明：在图3中，IZBON=108°,・・・ZCBM+ZBCN=108°•・•ZBCN+ZDCN=108°,ZCBM=ZDCN.又•・•BC=CD,ZBCM=ZCDN=108°,・•・ABCM竺△CDM・•・BM=CN.(2)①当ZBON二(〃-2)xl80。时,结论b“=cN成立.n②BM=CN成立.证明：如图5,连结BD、CE.在

4、△BCD和△CDE中，•・•BC=CD,ZBCD=ZCDE=108°,CD=DE.:.△BCD£/CDE.・•・BD=CE,ZBDC=ZCED,ZDBC=ZECD.•・•ZOBC+ZOCB=108°,ZOCB+ZOCD=108°,・•・ZMBC=ZNCD.乂•・•ZDBC=ZECD=36°,.・.乙DBM=ZECN.:.BDM

5、抛物线b与h关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.(1)求?2的解析式；(2)求证：点D—定在b上；⑶uABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只冇一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.注：计算结果不取近似值［解］(1)设/2的解析式为尸启+加+也工0),•・•/】与兀轴的交点为4(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),D与h关于兀轴对称，・・・/2过人(-2,0),

6、x2+4.(还可利用顶点式、对務性关系等方法解答)(2)设点B(m,町为/)：y=x2-4上任意一点，贝ljn=〃，-4(*).・・・四边形ABCD是平行四边形，点4、C关于原点O对称,・•・B、D关于原点O对称，・••点D的朋标为Z)(-m-n)・由(*)式可知，-/?=-(7?72-4)=-(-加)?+4,即点D的坐标满足v=-x2+4,・••点D在?2上.（3）CABCD能为矩形.过点B作丄x轴于由点3在小尸启4上，可设点3的坐标为血，x02~4）,则O/7=1心1’BH=x02-4I.X易知，当且仅当BO=AO=2时，口为矩形.在RlAOBH中,由勾股定理得,U0I2+Ix02-

7、4I2=22,（也2-4）（xo?-3）=0,.xo=±2（舍去）、x（）=±［3.所以，当点B处标为B（书,-1）或夕（■击，-1）吋，口4BCD为矩形，此时，点D的坐标分别是D（p,1）、"（需,1）.因此符合条件的矩形有只冇2个，即矩形ABCD和矩形AB8.设直线A3与）,轴交于E,显然，/AOE^/AHBf.EO_BH.EO_1••廿丽’••亍I77T・•・£0=4-273.由该图形的对称性知矩形ABCD