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1、初二数学特殊的平行四边形——菱形人教实验版【本讲教育信息】一.教学内容：1.掌握菱形的概念，知道菱形与矩形、平行四边形之间的从属关系.2.分清菱形的性质和识别方法.3.通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力.二.知识要点：1.菱形的定义：冇一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分，并月•每条对角线平分一组对角;（3）菱形的周长等于边长的4倍.（4）菱形的面积等于对角线乘积的一半.3.菱形的识别：（1）四条边都相等的四边形是菱形；（2）对介线互相垂直的
2、平行四边形是菱形；（3）有一组邻边相等的平行四边形是菱形4.菱形与矩形的区别与联系：菱形和矩形虽都是特殊的平行四边形，但不同的是菱形是在边上的特殊，四条边都相等,这一点一•般平行四边形不貝有，对角相等这一特征-•般平行四边形也具有；而矩形是在内角上冇不同于一燉平行四边形的特征，即四个角都是直角.另外菱形具冇的而一般平行四边形不具有的还有-对角线互相垂肓，炬形具有而一般平行四边形不具有的是对角线相等，矩形和菱形在特征上相同之处是都貝-有平行四边形所貝-有的性质.三.重点难点：木讲重点是掌握菱形的性质，难点是把菱形的性质和直介三角形
3、的知识综合应用.【典型例题】例1・如图所示，在菱形ABCD中，CE丄AB于E,CF丄AD于F.求证：AE=AF.C分析：要证明AE=AF,需要先证出△ACE^AACF.证明：连结AC.因为四边形ABCD是菱形，所以AC平分ZBAD,即ZBAC=ZDAC.在AACE和ZACF中，ZAEC=ZAFC=90°,ZBAC=ZDAC,AC=AC,所以△ACE^AACF.所以AE=AF・评析：要熟练掌握菱形的相关性质，并灵活应用.例2・下列条件中能够判定一个四边形是菱形的是（）A.对角线互相平分且相等B.对饬线互相垂直fl相等C.对角线互
4、相垂直且对角相等D.对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角分析：错选B的原因是认为菱形的两条对角线相等，而应是互相垂直平分；错选D的原因是认为菱形的一条对角线平分一组对角，而应是菱形的两条对角线平分对角.解：C例3・如图所示,在平行四边形ABCD中,AE、CF分别是ZBAD和ZBCD的角平分线,根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是•（只需写出一个即町，图中不必再添加别的“点”和"线”）AF分析：本题主要考查菱形的判定方法，利用平行山边形的性质与角平分线的定义，可以先得出四边形AECF是平
5、行四边形.需添加的条件不止一个，本题是开放性题目.解：AE=AF,或AC丄EF等.FE,EF丄BCJ*F,试说明四边形AEFG是菱形.例4・如图所示，在厶ABC小，ZBAC=90°,AD丄BC于D,CE平分ZACB交AD于G,交ABC分析：由已知nJ知，图中有平行线可证等角，等线段，因此可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边和等.解：因为ZBAC=90°,EF丄BC,Z1=Z2,所以AE=EF,Z3=Z4,因为AD丄BC,EF1BC,所以EF〃AD,所以Z4=Z5,所以Z3=Z5,所以AE=AG.所以EF〃AG且EF=A
6、G,所以四边形AEFG是平行四边形.又因为AE=EF,所以平行四边形AEFG是菱形.评析：在识别菱形时，容易犯忽视前捉条件的错课，如对于四边形，已知一组邻边相等,或对角线互相垂直，就说这个四边形是菱形.事实上，只有在四边形是平行四边形的前提下,才能由一组邻边相等或对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形.若不具备这一前提，一定要先证明这个四边形是平行四边形.例5・己知菱形的周长为40cvn,两条对角线Z比为3：4,求菱形的面积.分析：如图所示，由菱形的性质可得AOAB是直角三角形，它的两条肓角边之比等于菱形的两条对角线之比，再山勾
7、股定理列方程求解.A解：因为菱形ABCD的周长是4（）6777,所以AB=10c727・因为OA=*AC,OB=*BD,AC:BD=4:3,所以OA:0B=4:3.设OA=4x,OB=3x,由勾股定理，得（4兀）2+（3x）2=102,解得x=2.那么0A=8,0B=6.所以AC=16,BD=12,112S菱形abcd=，AC•BD=2X16X12=96期~.评析：由四边形的两条对角线和一边组成的三角形（如图屮厶OAB）是我们经常考杳的对•象.特殊的四边形对应特殊的三角形.矩形、菱形、正方形対应的三角形分别是等腰三角形、直角三角
8、形、等腰直角三角形.掌握这一点，对于解决四边形的问题是大有益处的.例6・如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE丄AB,AB=a.（1）求ZABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的而积.分析：本题考查菱形的定义，解题的关键是作辅助线
