菱形_典型例题

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1、典型例题　　例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求：　　（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．　　分析 （1）由E为AB的中点，，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知　　解 （1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴　　是AB的中点，且，∴　　∴是等边三角形，∴也是等边三角形．　　∴　　（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，　　∴　

2、　∴，∴　　（3）菱形ABCD的面积　　说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．　　例2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于F．　　求证：　　分析 要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．　　证明 ∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴，　　，　　∴，　　∴　　例3已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，，，求的度数. 　　解答：连结AC. 　　∵四边形ABCD为菱形，　　∴，. 　　∴

3、与为等边三角形. 　　∴　　∵，　　∴　　∴　　∴　　∵，　　∴为等边三角形. 　　∴　　∵，　　∴　　∴　　说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证. 　　例4  如图，已知四边形和四边形都是矩形，且．　　求证：垂直平分．　　分析 由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．　　证明：∵四边形、都是矩形　　∴，，，　　∴四边形是平行四边形　　∵，∴　　在△和△中　　　　∴△≌△  ∴，　　∵四边形是平行四边形　　∴四边形是

4、菱形　　∴平分   ∴平分   ∵　　∴垂直平分．　　例5 如图，中，，、在直线上，且．　　求证：．　　分析 要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．　　证明 ∵四边形是平行四边形　　∴，，，∴　　∵，∴　　在△和△中 　　∴△≌△ ∴　　∵  ∴　　同理： ∴　　∵　　∴四边形是平行四边形　　∵  ∴四边形是菱形　　∴．