《菱形》典型例题.doc

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1、菱形，矩形，正方形典型例题例1如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求：（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面分析（1）由E为AB的中点，，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知解（1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴是AB的中点，且，∴∴是等边三角形，∴也是等边三角形．∴（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴∴，∴（3）菱形ABCD的面积说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，

2、这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2已知：如图，在菱形ABCD中，于于F．求证：AE=AF分析要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．证明∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴，，∴，∴例3如图，已知四边形和四边形都是长方形，且．6/6求证：垂直平分．分析由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．证明：∵四边形、都是长方形∴，，，∴四边形是平行四边形∵，∴在△和△中∴△≌△∴，∵四边形是平行四边形∴四边形是菱形∴平分∴平分∵∴垂直平分．例4

3、如图，中，，、在直线上，且．求证：．分析要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．证明∵四边形是平行四边形∴，，，∴∵，∴在△和△中∴△≌△∴∵∴同理：∴∵∴四边形是平行四边形∵∴四边形是菱形∴．6/6例5如图，在△中，，为的中点，四边形是平行四边形．求证：与互相垂直平分分析要证明与互相垂直平分，只要证明四边形是菱形．所以要连结证明∵在△中，为的中点∴∵四边形是平行四边形∴，∴，∴四边形是平行四边形∵∴是菱形∴与互相垂直平分．CDEABF例6、如图，在是△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，点F

4、在直线DE上，AF=CE．（1）说明，四边形ACEF是平行四边形；（5分）（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？说明理由．（4分）（3）四边形ACEF可能是正方形吗？说明理由．（3分）例7、如图，△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）说明：EO＝OF（2）当点O运动到时，四边形BEFC可能是菱形吗？并说明理由．（3）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（4）在（3）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说

5、明理由．OFECDBNMA6/6巩固练习1、梯形ABCD中，AD∥BC,BD平分∠ABC,∠C=60°,当AB=CD=4时，梯形ABCD的周长2、在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60º，CD＝2cm，则梯形ABCD的面积为3．如图,梯形ABCD中，AD∥BC，AC为对角线，AE⊥BC于E，AB⊥AC，若∠ACB=30°，BE=2.则EC=___________.5．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，若∠D=110°，∠ACD=30°，则∠BAC等于7．直角梯形一腰长16cm,该腰和一个底所成的角为30°,那么

6、另一腰长________cm.ADBCE9、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，过D点作DE∥AC交BC的延长线于E点.⑴求证：四边形ACED是平行四边形；⑵若AD=3，BC=7，求梯形ABCD的面积.参考答案例1分析（1）由E为AB的中点，，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知解（1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴是AB的中点，且，∴∴是等边三角形，∴也是等边三角形．∴（2）∵四边形ABCD是菱形，∴A

7、C与BD互相垂直平分，∴∴，∴（3）菱形ABCD的面积说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2分析要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．证明∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴，，∴，∴6/6例3解答：连结AC.∵四边形ABCD为菱形，∴，.∴与为等边三角形.∴∵，∴∴∴∵，∴为等边三角形.∴∵，∴∴说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证例4分析由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一

8、”可证明垂直平分．证明：∵四边形、都是长方形∴，，，∴四边形是平行四边形∵，∴在△和△中∴△≌△∴，∵四边形是平行四边形∴