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1、嘉兴学院南湖学院（2011届）本科毕业论文（设计）题目：反常积分的研究学院：专业：数学与应用数学班级：学号：姓名：指导教师：诚信声明我声明，所呈交的论文（设计）是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文（设计）中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺，论文（设计）中的所有内容均真实、可信。论文（设计）作者签名:签名日期：2011年3月10日授权声明学校有权保留送交论文（设计）的原件，
2、允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文（设计）进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。论文（设计）作者签名：签名日期：2011年3月101=1反常积分的研究****学院扌商要：本文从反常积分的背景出发，介绍了反常积分的定义，性质和收敛性判别法•此外，本文对反常二重积分的一些简单问题以及反常积分在现实中的简单应用进行了讨论•最后，木文还叙述了无穷积分与无穷级数之间的联系与差别.关键词：反常积
3、分；数学分析；换元法；反常二重积分；无穷级数StudyonImproperIntegral****UniversityAbstract:Fromthebackgroundoftheimproperintegral,thispaperintroducesthedefinition,propertiesandconvergencecriterion.InadditionJtdiscussessomesimplyquestionsofimproperdoubleintegral,aswellasasimple
4、applicationintherealofimproperintegral.Finally,thepaperalsodescribesthetiesanddifferencesbetweeninfiniteintegralandinfiniteseries.Keywords：improperintegral,mathematicalanalysis,methodofsubstitution,improperdoubleintegral,infiniteseries1引言1L1反常积分的背景11.2反常
5、积分的定义12反常积分的性质和其收敛判别法32」反常积分的性质32.2反常积分的收敛判别方法43反常二重积分的简单讨论63」反常二重积分的定义63.2反常二重枳分的性质74反常积分的计算和收敛性判别的举例94」反常积分的计算和收敛性判别的举例94.1.1反常积分的计算举例94.1.2反常积分的收敛性判别举例114.2反常积分在现实中的简单应用135无穷积分与无穷级数的联系与区别155.1无穷级数的简单介绍155.2无穷积分与无穷级数的联系175.3无穷积分与无穷级数的区别196结束语207致谢21参考文
6、献221引言1.1反常积分的背景错误！未找到引用源。Riemann积分要求积分区间［d,b］有限口被积函数/(兀)在该区间上有界•但在实际的应用(特别是物理应用)中，上述条件不满足，仍需要某种形式的积分.因此，积分的概念需要推广，保证我们也可以讨论区间无限或无界函数的类似的积分问题，这就是木章所介绍的反常积分或广义积分.首先rfl—个例子引入：设地球的半径为R,质量为M.根据万有引力定律知，地球对距球心人r>R处质量为M物体的引力为：F(x)=mgR2lx2.特别，当r=R,F=mgt因而G=R2m/g
7、.考虑将质量为M的火箭从地面厂=R发射到r=x引力所作的功.利用微元法，并口由W与F(r)Z间有关可得dW=F(r)dr.因此，W2=fF(r)dr=mgR2(l/7?-1/x).JR则火箭飞到无穷远处克服地球引力所作的功为W-limfF(r)dr-mgR.XT+ooJR假设以速度片)发射,它得到的动能为加片j/2.要使它飞出地球引力范围，则必须/2>mgR,v0>112km/s.1.2反常积分的定义定义儿设函数/定义在无穷区间S,+oo)上，且在任何有限区间a,u］上可积，如果存在极限lim£f(x
8、)dx=J(1-D贝U称此极限丿为函数于在［d,+O0)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J=MOO并称1f(x)dx收敛.如果极限不存在，为方便起见，亦称「f(x)dx发散.定义2：设函数/定义在⑺"］上,在点Q的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间［比6u(a,b］上有界且可积,如果存在极限lim(f(x)dx=J称此极限为无界函数于在w->a*人(⑦切上的反常积分，记作J=^f(x)dxy并称反常积分^f(x)dx收敛，如果极限不
