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1、嘉兴学院南湖学院(2011届)本科毕业论文(设计)题目:反常积分的研究学院:专业:数学与应用数学班级:学号:姓名:指导教师:诚信声明我声明,所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺,论文(设计)中的所有内容均真实、可信。论文(设计)作者签名:签名日期:2011年3月10日授权声明学校有权保留送交论文(设计)的原件,
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3、分;数学分析;换元法;反常二重积分;无穷级数StudyonImproperIntegral****UniversityAbstract:Fromthebackgroundoftheimproperintegral,thispaperintroducesthedefinition,propertiesandconvergencecriterion.InadditionJtdiscussessomesimplyquestionsofimproperdoubleintegral,aswellasasimple
4、applicationintherealofimproperintegral.Finally,thepaperalsodescribesthetiesanddifferencesbetweeninfiniteintegralandinfiniteseries.Keywords:improperintegral,mathematicalanalysis,methodofsubstitution,improperdoubleintegral,infiniteseries1引言1L1反常积分的背景11.2反常
5、积分的定义12反常积分的性质和其收敛判别法32」反常积分的性质32.2反常积分的收敛判别方法43反常二重积分的简单讨论63」反常二重积分的定义63.2反常二重枳分的性质74反常积分的计算和收敛性判别的举例94」反常积分的计算和收敛性判别的举例94.1.1反常积分的计算举例94.1.2反常积分的收敛性判别举例114.2反常积分在现实中的简单应用135无穷积分与无穷级数的联系与区别155.1无穷级数的简单介绍155.2无穷积分与无穷级数的联系175.3无穷积分与无穷级数的区别196结束语207致谢21参考文
6、献221引言1.1反常积分的背景错误!未找到引用源。Riemann积分要求积分区间[d,b]有限口被积函数/(兀)在该区间上有界•但在实际的应用(特别是物理应用)中,上述条件不满足,仍需要某种形式的积分.因此,积分的概念需要推广,保证我们也可以讨论区间无限或无界函数的类似的积分问题,这就是木章所介绍的反常积分或广义积分.首先rfl—个例子引入:设地球的半径为R,质量为M.根据万有引力定律知,地球对距球心人r>R处质量为M物体的引力为:F(x)=mgR2lx2.特别,当r=R,F=mgt因而G=R2m/g
7、.考虑将质量为M的火箭从地面厂=R发射到r=x引力所作的功.利用微元法,并口由W与F(r)Z间有关可得dW=F(r)dr.因此,W2=fF(r)dr=mgR2(l/7?-1/x).JR则火箭飞到无穷远处克服地球引力所作的功为W-limfF(r)dr-mgR.XT+ooJR假设以速度片)发射,它得到的动能为加片j/2.要使它飞出地球引力范围,则必须/2>mgR,v0>112km/s.1.2反常积分的定义定义儿设函数/定义在无穷区间S,+oo)上,且在任何有限区间a,u]上可积,如果存在极限lim£f(x
8、)dx=J(1-D贝U称此极限丿为函数于在[d,+O0)上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记作J=MOO并称1f(x)dx收敛.如果极限不存在,为方便起见,亦称「f(x)dx发散.定义2:设函数/定义在⑺"]上,在点Q的任一右邻域内无界,但在任何内闭区间[比6u(a,b]上有界且可积,如果存在极限lim(f(x)dx=J称此极限为无界函数于在w->a*人(⑦切上的反常积分,记作J=^f(x)dxy并称反常积分^f(x)dx收敛,如果极限不